r die n.— 9 
1:2 0, 
den Faktor 
rhalten, hat 
-8 7 1:2 
ga“ 72, 
eln z = ec 
wurde 
nicht von 
n ist z?W(s) 
he Division 
bis zu dem 
105 9 n) 
? Faktoren, 
p, (x) noch 
icklung zu 
1 
Le 
$1 
1 - 
; 
e 
ntegration 
J(x — £4) 
lx —&). 
enthält © 
ereint. den 
8 3. Integration rationaler algebraischer Functionen. 581 
Es lässt sich nun nachweisen, dass dann immer eindeutig folgende Ent- 
wicklung durchgeführt werden kann 
d (x) 4X + 59 A,x + B, Adu-1% + But | v4, (x) 
E T p P pits rg nM pec wed us 
wobei e,(x) das Produkt der Faktoren bezeichnet, die in 9 ausser (x — 7) 
enthalten sind. 
Multiplicirt man nämlich in 1. beide Seiten mit (x — 7)? 4- s?]P, so erhält 
man, wenn man (x — 7)? + s*? zur Abkürzung mit U bezeichnet 
X s 9 
= dyx + B, + (dix + By) U + (dy x + By) UP + 
(x v B, —1) Ün-1 mi 9 hm "e. 
Ersetzt man hier x durch r -- is, so E n alle Potenzen von U; 
nimmt die linke Seite dabei den complexen Werth M, + AM, an, so hat man 
3, My + iN, = A,r + is) + B, 
Durch Vergleichung der realen und imaginären Theile ergiebt sich hieraus 
N, Zi 
/ / ue s eH) DE 7 
4. de = = By = M, — Na: 
Die Function d(x X) CA, x -- B,) verschwindet, wenn À, und B, die 
Werthe 4. haben, und x durch &, ersetzt wird; hieraus folgt, dass diese Function 
den Faktor x — £t, hat; sie hat daher auch den conjugirten Faktor, und ist 
folglich theilbar durch das Produkt dieser beiden F aktoren, durch C. Führt man 
die Division aus, und bezeichnet den Quotienten mit 7,(x), so hat man daher 
q(x) — e«(x( Ayx + Bo) = U- ya). 
Setzt man dies in 2. ein, so enthalten alle Glieder der Gleichung den Faktor 
U; nach Entfernung desselben bleibt 
        
n — 4 2 + À, + (dax + By) U + (Azx + By) U2 + 
; 9, (x) 2 2, 3 3 
J / \ 
: : I» $y (x) 
| 4 +% >, 1-2 4 IN pi. 
SE (A, 1X -- 5, 1) U 1 9, (x) U 
Setzt man hier x — ots so erhält man 
» - 7 7.16 3) 
6. Ae, + B, = ; 
mr ea RU) 
und hieraus wie bei 3. und 4. durch Sonderung des Realen und Imagináren die 
Gróssen 4, und B, 
Durch wiederholte Anwendung dieses in der Ausführung zwar umständlichen, 
aber ganz elementaren und durchsichtigen Verfahrens gewinnt man sämmtliche 
À und A. 
Es ist klar, dass man ein gleiches Verfahren auch an Stelle des in No. 3 
gegebenen anwenden könnte. 
9. Für den Fall, dass ¢(x) mehrfache complexe Faktoren hat, kommt die 
Integration von (¢: ¢) dx daher auf die Entwicklung der Integrale hinaus 
| * Ax + B à 5 dx js 
: Je CR da und 2. T LA. ss dx, 
Wobei z eine ganze positive Zahl bezeichnet. Das Integral 1. liefert (vergl. No. 2, 6) 
| dx m [2 s 7) - rie + Ap) dx 
8 "+. x — 7)? + s? 
  
3 
À if : i BA Ar a + 
= 9 Maries 40 He tang eT a C,