Xx. 
r ungerade 
ser geraden 
ebrochenen 
andeln. 
n Integrale 
§ 6. Integration durch unendliche Reihen. 599 
Ist Tees algebraisch, so hat man schliesslich nur noch eine algebraische 
Function zu integriren. 
12. Durch die Substitution 
Gris mm v, also X SHE 
erhält man 
1. J f (arc sin aye == JJ cos zd . 
Ebenso erhält man durch die Substitutionen 
arteos x = 8, bez. arclangz X — 3 
die Reductionen 
2. ff (arceos x) dx = — f fs) sina dz, 
dz 
3. f f(arctang X)dx = 1 7 rr 
S 6. Integration durch unendliche Reihen. 
1. Hat man mit Hilfe des TAyYLor’schen Satzes die Entwicklung 
i. fix) == do == 4, 2 mi Ag x? m d; x ti Aida R, , 
und ist fiir Werthe von x, die innerhalb gewisser Grenzen liegen 
nk, = 0, yz oo, 
so ist zunächst 
Jr dx = Jd, + A, % + Ag x? + . . + An x" + R,) dx 
9 
1 : 1 1 : 
mz AX Ar Ay 22 Am Aaa A xu A, xn [a 
9 8 N 
x 
Das Integral fz. dx bedeutet geometrisch den Inhalt einer Fläche, welche 
a 
von der Abscissenachse und von der Curve y — A, begrenzt wird, und zwar 
das Stück dieser Fláche, das zwischen den zu den Abscissen « und x gehórigen 
Ordinaten liegt. Die Abscisse a ist dabei willkürlich, sie soll nur kleiner als x 
sein; sie mag daher so gewühlt werden, dass für alle Werthe der Variabeln von 
& bis x die Reihe 1. noch convergirt. 
X 
Unter dieser Voraussetzung und für einen endlichen Werth von x ist f Ada 
a 
eine ganz im Endlichen liegende Fläche, deren Ordinaten sámmtlich verschwinden; 
daher verschwindet auch die Fläche und man hat 
Xx 
IESZ zz 0, also IE zz Const. 
a 
Für alle Werthe von x, für welche die Reihe convergirt 
: F@) =A, + 44% + Ax? 4 dx9* 4 ..-., 
ist daher 
f feoda — 4Q4X344,.x*?*--4$4,x?--l4,x! -...--C. 
2. Wir benutzen diesen Satz zunächst, um einige in der Differentialrechnung 
gegebene Reihenentwicklungen auf einem neuen Wege abzuleiten. 
A. Für jedes echt gebrochene x ist 
lH Lat, x? «dl. 
Hieraus folgt 
> da x? x? xt x? € 
—_— = x — — — — — m em bete . 
i x + ; zi