id C vereint 
r Gleichung 
beilegt, für 
und erhalten 
dA 
ER 
C ez 0, also 
nd man hat 
x? = 1. 
1ckeln und 
1, so dient 
Reihe zu 
x? «4 
. + €. 
ue Reihen- 
x2 <1, 
Reihen be- 
8 6. Integration durch unendliche Reihen. 601 
steht darin, dass man durch dieselben in den Stand gesetzt ist, ein irreductibles 
Integral Jf) dx in eine Potenzreihe zu entwickeln, sobald die Function f(x) 
dieser Entwicklung fähig ist. 
Aus der für alle Werthe von x gültigen Entwicklung 
  
  
X x2 x3 xt 
enlace rT ETT Mr 
folgt, ebenfalls fiir alle Werthe von x 
e 1 x a? x3 
RT 153" ne 
Die Function e”:x ist für alle endlichen von Null verschiedenen Werthe 
von x endlich und wird nur unendlich gross fiir x = 0. Schliessen wir diesen 
Werth aus, so ist für jedes endliche positive x 
  
  
  
e 1. «2 1 x’ 1 xt 
— == mr RU I" dtes vm ET .. + C. 
fes m SULSTIUT$UA put 
Ist x negativ, so setze man x = — y; dann erhált man 
2 3 4 
me um d Wu. uz J E 
rrr TTT RE 
Daher ist 
er £7 1 y 2 1 y 3 1 pt 
sedan dy YA, 
fe f A CR 1 
Ersetzt man nun hier wieder y durch — x, so findet man für negative 
Werthe von x 
ex ] a? 1 x3 1 xt 
e m um fox IN Le SLE ne te Gg 
Mr si ek TR ITIL TIT 
9. Für alle endlichen x gilt die Reihe 
X 
  
  
  
  
x? x5 x 
Es 5 m-LIS LS YI uut: 
Daher ist auch unbeschränkt 
san x? x^ «t 
RT TTS I 3 
und mithin 
Sin x 1 x3 1 xd 1 x7 
TS a LEE CG 
6. Bei dem Integrale 
/ A x 
m X 
muss x wegen /(1 + x) grosser als — 1 sein. Ist nun — 1 « x « +1, so 
hat man 
x P a 
(l--x)—x—— "T T+ 
Daher ist 
(1 + x) x? x? br 
[23 dx = X — 33 + zz — 43 +... + C 
+ 1«<x<+1. 
Ist x > 1, so benutze man 
1 1 1 
/ x) = E 2] — e 
(1 + x) Ix + (ra ]) Ix x 
Da nun 
| 1 1. 1l] 1 
N 
| 
2: