Integralrechnung. 
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8 1l. Die periodischen Reihen und die FOURIER'schen Integrale. 
l. Die unendlichen Reihen, die wir in der Differentialrechnung kennen ge- 
lernt haben, waren Potenzreihen, d. i. Reihen, welche nach den steigenden 
Potenzen der Variabeln fortschreiten. In diesem Abschnitte werden wir eine 
andere Gattung unendlicher Reihen untersuchen, nümlich Reihen, welche eine 
der beiden allgemeinen Formen haben 
1. Ay + Ay cosu + Ay cos2u + Az cosBu + 
2. B, sinu + Bysin2u + B,sin3u + . 
welche also nach dem Cosinus und Sinus der ganzzahilizen Vielfachen des Bogens 
4 fortschreiten. 
Wenn die Reihen innerhalb der Grenzen 0 und x convergiren*), so stellen 
sie Functionen von z dar; setzt man in diesem Falle 
de + Ay cosw 4 Ay 005%u +. = fl), 
so ist offenbar 
fir +0) = fx — 9). 
Die Werthe, welche die Function von z — 0 bis z = = annimmt, wieder- 
holen sich also in umgekehrter Reihenfolge, wenn die Variabele von z — x bis 
4 — 2x Wüchst. Beachtet man ferner, dass die Faktoren cos mu ihre Werthe 
nicht ändern, wenn z um ein ganzes Vielfaches von 2x zu oder abnimmt, so 
erkennt man, dass 
Fu 207) = fla), 
Die Summe der Reihe ist daher eine periodische Function von z. Ebenso 
erkennt man sofort, dass auch die Reihe 2. eine periodische Function von z ist. 
Beide Reihen werden daher als periodische Reihen bezeichnet. 
Hierin unterscheiden sich diese Reihen wesentlich von den Potenzreihen. 
Potenzreihen sind innerhalb des Convergenzgebiets Functionen der Variabeln; 
an der Grenze der Convergenz treten im. Allgemeinen Discontinuitáten auf; und 
für alle Werthe der Variabeln, die ausserhalb des Convergenzgebietes legen, ist 
die Summe der Reihe unendlich gross. Die periodischen Reihen 1. und 2. da- 
gegen sind für alle Werthe von z convergent, wenn sie für das Intervall O0 bis z 
convergiren, und sind periodische Functionen von z mit der Periode 9c. 
2. Ist /(#) eine Function, die innerhalb des Intervalls 0 und = endlich 
bleibt, so kann man die Coefficienten Hor yr Ay iid be B A, 
Bs, . . DB, so bestimmen, dass die Gleichungen 
1 Sw) = A, 4 Ay cosu + A, cos2u + A, cos (n— Nu 
2. Fe) = B, sinu + B, sin2u + By sinbu + .. + B, sinnu 
für verschiedene sanertraih des Intervalls 0 ah : liegende übrigens willkürlich 
gewählte Werthe von x erfüllt werden. Denn setzt man die gegebenen Werthe 
von z Z. B. in 1. ein, so erhált man z Gleichungen, welche die z unbekannten 
Coefficienten Ao, A, .. A,-, linear enthalten, aus denen die 4 also eindeutig 
bestimmt werden kónnen. 
Die Summen der endlichen Reihen 
*) Ueber die Convergenzbedingungen vergl. u. A. SCHLOEMILCH, Compendium der hóhern 
Analysis, 4. Aufl, Bd. I. pag. 40. 
    
   
    
    
     
        
     
    
   
  
      
    
   
   
      
   
   
    
   
   
   
   
     
    
  
     
  
   
      
   
    
    
   
    
     
  
      
  
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