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8 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 
7 CP HP 
% 
d. ii das Produkt dieser Strecken ist constant. 
18. Die Frage nach den Gegenpunkten projectiver Reihen lässt sich auch 
als die Frage nach entsprechenden unendlich grossen Strecken auffassen (d. 1. 
nach unendlich grossen Strecken, deren Endpunkte sich paarweis entsprechen). 
Man wird nun erkennen, dass dieser Untersuchung über die Gegenpunkte pro- 
jectiver Reihen für projective Büschel die Frage nach entsprechenden 
rechten Winkeln zur Seite gestellt werden kann (d. i nach rechten Winkeln, 
deren Schenkel sich paarweis entsprechen). 
Wir wühlen der Einfachheit wegen entsprechende Strahlen zu Nullstrahlen; 
dann muss die Gleichung a fang e fango! —+ btange + ctang q' + d = 0 derart 
sein, dass dem Werthe ¢ = 0 der Werth ¢' = 0 zugehort, die Gleichung nimmt 
also die Form an: 
1. atange tange' + blange + ctange' = 0. 
Gesetzt nun, 7' und 7" seien entsprechende Schenkel sich entsprechender 
rechter Winkel; dann müssen sich auch die Strahlen 7, und 7j' entsprechen, 
für welche , — e -r 90, 0, = ¢' + 90°, es muss also auch die Gleichung 
erfüllt sein: 
atang (p + 90°) tang (¢' + 90°) + Stang (@ + 90°) + ctang (¢' + 90°) = 0. 
Da nun fang (6 + 90°) = — 1 : fange, fang (¢' + 90°) = — 1 : lang, so 
geht diese Gleichung über in 
a b € 
tango tangy  tange tang’ e 
woraus nach Multiplication mit ange fange' entsteht: 
2. a — btangq' — ctange = 0. 
Die Werthe ¢ und o', welche wir suchen, sind daher die gemeinsamen 
Lósungen der Gleichungen 1. und 2. Dieses System besteht aus einer Gleichung 
zweiten Grades (1) und einer linearen Gleichung (2), hat also zwei Auflósungen. 
Gesetzt o — a, q'-—a' sei eine Auflósung des Sytems, es seien also die 
  
Gleichungen identisch erfüllt 
  
  
8. atanga tango! + btang a + clanga = 0. 
4. a — btanga' — clanga = 0. 
Hebt man aus beiden Gleichungen den Faktor anga fanga' aus, so entsteht 
5. tango tango (4 + où, t= ; ) = 0 
e i fango! | tanga 
; a b € 
$ Muda (= tanga'  tanga — lang 7) Fe 
Diese Gleichungen zeigen im Vergleich mit 2. und 1., dass auch die Werthe 
tango = — 1 : tanga, lang — — l:fanga, 
d. i. die Strahlen, die mit den Nullstrahlen die Winkel a + 90°, a' + 90° bilden, 
den Gleichungen 1. und 2. genügen. Wir sehen hieraus, dass zwei projective 
Büschel immer ein und im Allgemeinen auch nur ein Paar ent- 
sprechende rechte Winkel haben. 
Haben zwei projective Biischel mehr als ein Paar entsprechende rechte 
Winkel, so haben die Gleichungen 3. und 4. mehr als zwei Losungen; dies ist 
aber nur dann möglich, wenn sie identisch sind; letzteres tritt nur dann ein, wenn 
a=0 und ?— — c. Unter dieser Voraussetzung wird die Gleichung der Pro-