674 Integralrechnung.
Wie bekannt, ist es nicht nöthig, dass die Function (x) innerhalb des
ganzen Intervalls von — oo bis oo immer dasselbe Gezetz befolgt; es steht viel-
mehr vollkommen frei, die Curve
y = Fx)
aus ganz beliebig gewihlten Theilen verschiedener Curven zusammenzusetzen;
dabei kann man nach Willkür die einzelnen Theile continuirlich zusammenhängen
lassen, oder an den Uebergangsstellen Discontinuitäten anordnen.
Von besonderem Interesse ist es, die Function von — oo bis zu einer be-
liebigen Grenze x = 6 constant — 0 zu nehmen, von 4 bis ß mit einer gegebenen
Function /#(x) zusammenfallen zu lassen, und von x — f bis x — oo wieder con-
stant = 0 vorauszusetzen. Das nach # genommene Integral in 3. verschwindet
alsdann für die beiden Intervalle — oo bis 6 und ß bis oo, und es bleibt
co p
; Ii / fi,
(2) == = F(t)cosu(t — x)dudt,
4. ar). :
—oco à
bit x <0,
An den Grenzen ? und ß gilt 4. nicht mehr; es ist vielmehr, da hier die
dargestellte Function discontinuirlich ist,
c Ç
] ls ; a
=) [7o cosu(t — 0) dudt = i Fb),
— à
eo p
1 5 : : p
3x F(t)eosu(t —8) dudt — &().
—oco à
Für jedes x, das kleiner als 0 oder grösser als ß ist, hat man
oo p
ff Focosu(é — n Em.
—co Ó
Die Fourier’schen Doppelintegrale®) 3. und 4. gewühren das hohe Interesse,
dass sie willkürliche endlich bleibende Functionen von x darstellen; und zwar
3. innerhalb des ganzen realen Gebiets, 4. innerhalb eines beliebig gewühlten,
während ausserhalb desselben das Integral verschwindet.
16. Dieselben Betrachtungen, die wir im vorigen Abschnitte auf die Cosinus-
Sinus-Reihe angewendet haben, sind auch für die Cosinusreihe und für die Sinus-
reihe verwendbar; leichter gelangen wir zu denselben Ergebnissen, wenn wir das
Integral No. 15, 3 zum Ausgangspunkte nehmen. Wir transformiren dasselbe
zunächst in
1 A ; EAT: |
I. Fx) = 5 Jo [cos X «f7 (£)cosutdt + sinu sf (£) szn weit
Wir wollen nun für Z(x) innerhalb der Grenzen 0 bis co eine willkürliche
Function nehmen, für negative x aber die Function so fortsetzen, dass
Fi— x) = F(x).
Unter dieser Voraussetzung ist
#) FOURIER, Théorie analytique de la chaleur. Paris 1822.
und
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