entsprechende 
ilden mit zwei 
so congruent. 
iben, (d. i. auf 
ich ereignet, 
win auftretende 
jn einer Punkt- 
einer anderen 
gemeinheit an- 
eihen die posi- 
1, wie auch zur 
werden: 
Gerade 7 und 
2 und Z7 Q.Q0. 
, sind perspec- 
tv (No. 13 
und der 
Schnittpunkt 
À der Gera- 
den 2, Q, und 
PaQ ist Ihr 
gemeinsames 
Projections- 
centrum. Zieht 
man nun AG 
parallel B, so 
entspricht & 
dem  unend- 
lich fernen 
Punkte auf A, 
also auch dem 
unendlich 
2 50. 4 À) 
der Punkt der 
aA entspricht; 
ethe P P. 
L L ein Puakt, 
| die Gleichung: 
ferner 2,’ 
0 
unkt der Reihe 
MA zieht und 
der 
8 6. Projective Strahlbiischel und Punktreihen. 57 
PP =" P,0, macht), so ist GP, - HP = GM- HP) = MH - HP; 
man hat daher aus 2.: 
3. (GI — GM)? = MH(MH + HP). 
Setzt man hier MII fir GI — GM, und MP," fir MH + HP, so hat 
man schliesslich 
4. MI? — MA-MP,. 
Die Gleichung wird durch keinen realen Werth von MI erfüllt, wenn das 
Produkt A477 - MP,' ein negatives Zeichen hat, d. i. wenn /7 und 2,’ auf ver- 
schiedenen Seiten von M liegen. 
Finden sich P' und Æ auf derselben Seite von M, so construire man das 
geometrische Mittel aus MH und MP, (indem man über MH einen Halbkreis 
construirt, und in 2,’ ein Loth zu AZM bis an den Halbkreis errichtet); die Strecke 
MR trage man von M aus nach beiden Seiten auf der Geraden ab; dann sind 
Il, und Il, die gesuchten Doppelpunkte. 
Wie man sieht, haben die Strecke zwischen den Gegenpunkten 
und die Strecke zwischen den Doppelpunkten zweier auf einander 
liegenden projectiven Punktreihen eine gemeinsame Mitte. 
20. Zwei auf einander liegende projective Strahlbüschel, d. 1. zwei Strahl- 
büschel mit gemeinsamem Träger, schneide man durch eine Gerade 4; diese 
Gerade wird von den entsprechenden Strahlen der beiden Büschel in entsprechen- 
den Punkten zweier auf einander liegenden projectiven Punktreihen getroffen. 
Haben die Strahlbüschel Doppelstrahlen, d. i. zusammenfallende entsprechende 
Strahlen, so haben die Punktreihen Doppelpunkte, und durch die Doppelpunkte 
der beiden Reihen gehen die Doppelstrahlen der beiden Büschel. 
21. Ist bei zwei auf einander liegenden projectiven Punktreihen das Produkt 
7: P. H P! entgegengesetzt gleich dem Quadrat der Strecke G M, so fällt M mit 
P,' zusammen und es ist M11, =I, = 0; die beiden Doppelpunkte fallen also 
dann mit M zusammen. 
22. Liegen die Gegenpunkte zusammen, so ist WH =0, MP, = oo; 
die Gleichung No. 17, 7 vereinfacht sich alsdann zu 
GP - CP = GP, - GP, also für Doppelpunkte N ait GIE = GA G2. 
Man sieht hieraus: Wenn bei zwei auf einander liegenden projec- 
tiven Punktreihen die Gegenpunkte zusammenfallen, so giebt es zwei 
oder keine Doppelpunkte, je nachdem zwei entsprechende Punkte 
auf gleiche: Seite des Gegenpunktes liegen oder nicht. 
Jeder Punkt der Geraden, auf welcher die beiden Punktreihen vereint liegen, 
ist sowel ein Punkt der Reihe 7, 7.7, als auch der Reihe A, 72 Pas 
bezeichnen wir einen Punkt, sofern er zur ersten Reihe gehört, mit P; und, sofern 
er zur andern gehört, mit Z,, und sind Æ' und 2; die ihnen entsprechenden 
Punkte, so hat man, wenn die Gegenpunkte zusammenfallen, zunächst 
GP GP = GP -6GCP;. 
Da nun GP; = GF, so folgt, dass auch GC Py = C Pf. 
Wir erhalten daher den Satz: Wenn zwei projective Punktreihen so 
auf einander liegen, dass die Gegenpunkte zusammenfallen, so ent- 
spricht jedem Punkte der Geraden ein und derselbe Punkt, gleich- 
gültig, zu welcher der beiden Reihen man den Punkt zählt. 
Von projectiven Reihen, die derart auf einander liegen, sagt man, dass sie 
involutorisch liegen und das Punktgebilde, das sie zusammen bilden, heisst 
eine quadratische Punktinvolution. In gleicher Weise gelangt man zu