Integralrechnung. 
8 13. Integrale complexer Functionen. 
l. Es sei /(z) eine Function der complexen Variabeln z, und für z eine | 
RiEMANN'sche Variabelnfliche construirt, so dass /(z) eine eindeutige Function der | 
Punkte dieser Flàche ist; ferner seien zwei Punkte z, und Z dieser Flüche durch 
eine in der Flüche liegende Linie / verbunden, und diese Linie durch eine 
Anzahl Punkte 2,, 2,; 34. Bu getheilt, die in der Richtung von z, nach Z 
auf einander folgen; endlich werde mit J (x) der Werth bezeichnet, den J(2) für 
irgend einen Punkt innerhalb des I.inienstiicks Zr.12,; annimmt. Unter dem 
bestimmten Integrale 
zZ 
j J() dz 
20 y 
versteht man den Grenzwerth, gegen den die Summe 
n 
> (82) Az y AG). mem = 2 
convergirt, wenn'simmtliche Differenzen Az, verschwinden 
2. Wir werden nun zunüchst zeigen, dass ein solcher Grenzwerth exisürt. 
Setzen wir z — x + zy, so nimmt /(2) nach Sonderung des Realen vom Imagináren 
die Form an e(x, y) + Zd(x, y) und es ist 
Az, — Ba — 2p] = Xp — Xp—1 + y — Jz—1) = Ax; + "my 3 
Folglich haben wir, wenn wir die Indices unterdriicken 
X/()As — X[e(m 5) Ax — $(x, 2) Ay] + iZ[p( 3) Ay + $(x, 2) Aa]. 
Aus der Gleichung der Curve / wollen wir nun y durch x und x durch y aus- 
drücken und diesen Werth für y bez. x in die mit Ax bez. mit Ay multiplicirten 
Functionen substituiren. Die ersteren werden dann Functionen von x allein, 
die letzteren Functionen von y; bezeichnen wir dieselben mit (3) 0, (x) W(y) 
und V,(y) so haben wir 
X/(z) Az — X[O(x) Ax — W(y) Ay] 4- 2X[0, (3) Ax -- V4(y) Ay]. 
Ist nun Z — X -4- z Y, so ist 
  
  
X Y | 
lm>®D(x) Ax = f (yox, Zn XW(y)Ny — fv) dy wu s w, | 
x y 
hieraus folgt e s | 
x X y 
In X f(z) Az e (x)dx — n (y) dy 4- sf (x) dx + i fw 100 dy. 
Jo Jo 
Hierdurch ist das ‘Integral 
Zz 
J f(z) dz | 
durch bestimmte Integrale realeı * Functionen einer realen Variabeln ausgedrückt. 
Wir schliessen hieran zwei Sätze, die sich aus der Definition des bestimmten 
Integrals ohne Weiteres ergeben. ( 
Ist 6 ein Punkt, der auf dem Integrationswege, d. i. auf dem für die Variable 
angenommenen Wege, ac zwischen a und c liegt, so ist für die Integration auf 
dem angenommenen Wop 
Îre 5) da + Jr 5) dz - fre di. 
Ferner folgt 
6 a 
[f@de = — , Jf@) da. 
    
     
      
          
      
     
    
          
   
    
    
      
   
     
     
  
     
   
     
     
   
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