Integralrechnung. 
d*-1 F(z) 
dzk 
im Punkte x; hat. Daher hat man schliesslich 
1 1 I 1 2 
Sn ta — z| (oz — a) Fr (az) st 7 (a7 — a)? JL; (a) +... 
8 14. Logarithmus und Exponentialfunction, Arcustangens und Tangente. e 
1. Wir geben nun neue Definitionen des Logarithmus, der Exponential- 
function, der cyklometrischen und der goniometrischen Functionen, 
die in gleicher Weise für reale und complexe Variable gelten. 
Den Logarithmus werden wir durch eine Functionalgleichung definiren; 
von dieser aus gelangen wir dazu, den Logarithmus durch ein bestimmtes 
Integral darzustellen. Die Functionen arctang z, arcsinz, arccos 3 definiren 
wir direkt durch bestimmte Integrale. Die Exponentialgrósse und die gonio- 
metrischen Functionen werden als Umkehrungen des Logarithmus und der 
cyklometrischen Functionen definirt. 
2. Den Logarithmus einer Zahl z definiren wir als die Function 
/(3), welche die Eigenschaft hat 
1 JG) — F0) I. 
Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung folgt sofort 
F2 +51 +52) = f(z) + 764) + (3), 
  
2. J(:2,*29.. 84) 9 (8) + (54) -- (84) +. . + f(z). 
Setzen‘ wir hierin = = =, —2,..., so entsteht > 
3. Jan) = my), 
wobei % eine ganze positive reale Zahl ist. 
Ferner folgt aus 1. 
JG) — fm) — 0). 
Ersetzen wir hier zz, durch z, so haben wir für z zu setzen 2 : z, und erhalten 
4 #(2) = /6 — 762: 
2 
3. Differenziren wir die Gleichung 
JG) — f) o f(0 
af (et) = f 0). 
nach Z, so entsteht 
Hierin setzen wir £ = 1 und erhalten 
| af = 0). 
Folglich ist 
' / 1 
I (2) = LD : z' 
und daher weiter 
Cy 
‘dz 
fe -7o0[*. 
Da f(z) fiir z — 1 verschwindet, so sind die Grenzen des Integrals 1 und z; 
wir haben also 
da 
/ ' 
f(z) == D] -— 
/9 -r0-[5 
- . A . . 1 
Durch die Functionalgleichung 
f@ +8) = 60) + fe) 
ist daher der Logarithmus bis auf einen constanten Faktor p. — f'(1) vollständig 
   
  
     
     
    
   
   
    
  
    
   
   
  
   
     
  
   
   
   
  
   
   
   
       
   
  
  
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