726 Integralrechnung.
wir die unendlich kleinen Aenderungen, die y und c erleiden, wenn z und { sich
um verschwindende Beträge verändern. Wir erhalten aus 1. und
/ az de
NR RE
y EET ee €) 7 = 7/3 7t , dt dz
ayy = V1 — 6^ ads + y1 c ds $t (7; 72 == "r3
= — (2 — YI — 22. Y1 — Dds
Nun ist ce
1 — 72 = 1— 22 — 22 + 2226 + 23:tV1—2.y1—,
= (1121 — 10) + 2018 Wel] — 2 YI 1
Daher folgt
dy
i dc mE
Für x — y — 0 verschwindet y, und c hat einen der Werthe Æ- 2x; hieraus
und aus 4. folgt
C
Wir haben daher das Additionstheorem
E (
J. = du ;+) rit / ie,
yi- m 3 V1 3° x V1 3
v= 3 y d$ "y 1 = 22 :
oder kiirzer
Arcsinz + Arcsinl = Arc sin (s y1 — 2 + t yl uy 22).
10. Als den Sinus der complexen Zahl w=— # + iv definiren wir
t3
die Zahl z, welche der Gleichung genügt
drcsins = 10.
Zu jedem Werthe von zw gehört ein eindeutig bestimmtes z, die Function
$241! ist also eine eindeutige Function der Variabeln w.. Nimmt w alle
Werthe an, die innerhalb des Streifens zwischen # = 0 und u = 2 liegen, so
durchläuft 2 = sinw alle möglichen Werthe; dabei nimmt sinw I Werth
zweimal an, nämlich für w = z + iv denuo lben wie für z — x — (v 4- 2v),
es ist also
sinw — sin(n — uw).
Für alle Zahlen w, die sich um gerade Vielfache von 2x unter-
scheiden, hat sinw e Werth, es ist
un
sinw = sin(w + 2h17).
Der Sinus ist somit eine periodische Function und hat die reale
Periode 2x. Aus den Gleichungen No. 2, 4 und 5 ergiebt sich sofort
£? =I e — > e? —— CT v
sin(u + iv) = — S Mu ic.
d dd
11. Die Function Arccosz definiren wir durch die Gleichung
T ;
1. Arccosz = 5 — Arc sin £
dd
Die Function Arccosz ist daher unendlich vieldeutig und hat denselben
Periodicitätsmodul 2x, wie Arc sin w. Drückt man in dem Additionstheorem
Are sin(z y 1 — £2 + cyl — 32) — Arcsinz = Arc sint,
€ durch = y i — £2 -rF t yl = 2? = 2, und s aus, so entsteht
9. Arc sin 3, — Arcsins = 3 g2 — 2Vl1—s D.
b
