|: = und“ sich
+97; hieraus
8.
efiniren wir
ie Function
Nimmt w alle
9x liegen, so
jeden Werth
x — (4 + iv),
n 9z unter-
at die reale
sofort
ichung
hat denselben
nstheorem
nt,
: 34%) ;
8 16. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen etc. 727
Schreibt man für 1.
Arccosz — dre sinl Arcsinz,
und benutzt 2. indem man z, durch 1 ersetzt, so folgt
3. Arceos g = re sin y 1 22.
Welchen Werth der Quadratwurzel man hierin zu nehmen hat, ist ebenso-
wenig unbestimmt, wie bei den Quadratwurzeln im Additionstheorem.
Ist Arc cos z = w, so gehört zu jedem zw ein eindeutig bestimmtes z. Wir
definiren die Function z — cosw als die Zahl, welche der Gleichung
genügt
drccos g = w,
es ist mithin cosw eine eindeutige Function von w. Aus der Vieldeutigkeit von
Arccosz folgt: Die Function cosw ist periodisch und hat die reale
Periode 2x. Aus 3. folgt
4. cosw = Y1 — sin?w.
Schreibt man für. 1.
Arcsinz = lw — Arccosz,
und setzt Arc cos z = w, so folgt z — sin(ld« — w), oder
5. cosw — sin(£x — w).
Durch 5. ist vollständig bestimmt, welcher Werth der Quadratwurzel in 4.
zu nehmen ist. Ferner folgt aus 5. und No. 7
: e? - ec QOO — (79
6. cos (4 + iv) = ——.3— osu — 4$ — sinu.
2 2
Setzt man im
Arcsin z + Arc sint — Arc sin (z y T= + tyi— =?) ;
dewecsms e. ecsnt — W,
so folgt
7 sin(w + W) = sinw cosw + cosw SinW ,
und hieraus, wenn man z» durch ix — ww ersetzt,
8. cos (w — Ww) — cos) cosW -- sinu sin.
19. Ist wr = Arcsinz, so ist
dz
dw = —
Yi — 22
mithin dz —= y1 z2 dw,
d. 1. dsinw = cosw dw .
Hieraus folgt, dass die für reale zw bewiesenen Differentialquotienten des
Sinus und Cosinus auch für complexe zw unverändert gelten. Da nun sinw und
cos w_ für alle endlichen w = % + iv endlich bleiben, so folgt, dass die TAYLOR-
schen Reihen
= cs a UE:
snw = W — 1573 zi 15 3 4 5 "7507
w? WE wb
pw =] =p tr ua TE
für alle endlichen Werthe von w gültig sind.
8 16. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normal-
formen; Vieldeutigkeit elliptischer Integrale.
1. Unter einem elliptischen Integrale versteht man jedes Integral von der
Form
ff(s, Vast + bas -- ca? - dz + ©) da,
wobei f eine rationale Function von z und der Quadratwurzel bezeichnet, unter
