746 Integralrechnung.
den Grenzen x = 1 und x = 1:4 entsprechen dann die Grenzen &= 1 und
E= 0. Ferner findet man
1 42
1— x2 = zz A? — 1 + AE) = — Z5. (1 € £2), 1 — A2x2 = k'2E2 ’
] k'2 : sde
dx = —- 35
£z YT cS.
Hieraus folgt
1
E som 1
] — £?x? ; ê — &'3£? qt
y. > dx =
1 — x? JV a — 282)
45e
t2
7 Jr E OT
Das erste Integral rechts bezeichnen wir mit Et es ist also
E == / gn e dx.
Daher 1st
1/1 — £x?
/ EN. dx = 1 (E! — KY.
Das Integral zweiter Art, erstreckt über den Weg I oder II Fig. 564,
hat somit den Betrag z-2(Z' — X”). Wir schliessen daher: Das elliptische
Integral zweiter Art ist unendlich vieldeutig; es hat den realen
Periodicitätsmodul 4Æ und den imaginären ;- 2(Z' — K?.
Führen wir die RIEMANN’sche Fläche durch dieselben Querschnitte, wie bei
Integralen erster Art, auf eine einfach zusammenhängende Fläche zurück, so ist
das Integral zweiter Art eine eindeutige Function des Ortes der Fläche. Für
einen Punkt auf dem rechten Ufer von Q, ist das Integral um 4 kleiner als
für den gegenüberliegenden Punkt des linken Ufers; und für einen Punkt des
innern Ufers von Q, ist es um 7-2(Z'— Æ') grôsser als für den gegentüber-
liegenden Punkt des äussern Ufers.
Wir werden später sehen, dass sich jedes Integral zweiter Art durch ein
Multiplum eines Integrals erster Art mit derselben obern Grenze, vermehrt um
eine periodische transcendente Function dieses Integrals ausdrücken lässt; das
Integral dritter Art wird in ähnlicher Weise dargestellt werden.
Aus diesen Darstellungen — bis zu denen wir uns vorwiegend mit den
Integralen erster Art beschäftigen werden — folgen dann ohne Weiteres die
Periodicititsmoduln der Integrale zweiter und dritter Art.
8 17. Das Additionstheorem für elliptische Integrale. Numerische
Berechnung von Integralen erster und zweiter Art.
1. EULER hat zuerst nachgewiesen, welche von Differentialen freie Bedingungs-
gleichung zwischen z und £ bestehen muss, wenn die elliptischen Integrale erster Art
t
>
dz dt
= und f >= ==
VAzt + Bz3 + C32 + Dz + E y Act + PC + DER
0
eine |
ellipti:
anseh
Integr
auf N
B
kleine
gleic
3.
aus w
wobei
F
Y
Integi
ihre
wobei
Differ
die G
6.
in 6.
S
A
die G
-l
wenn
