103 — 4269) = 0.
ung die beiden
m5 €» Em.
(ra - £3) = 0.
folgt:
| der Winkel,
hen Strahlen-
| : zone À, 7
= —1 : ang.
zwei Strahlen
( bilden, sind
e Winkel ¢, ¢'
alle die Strahlen
n, oder dass die
on; ist hingegen
2 beiden Achsen
n, deren Strahlen
olgen.
ıllen, werden als
den Satz: Die
liegen sym-
erbolisch oder
npunkte besitzen
ch den Punkt Q
nd 2', so ist bei
V, =0, N=
r die Punktpaare,
die Gleichungen:
§ 7. Die quadratische Punkt- und Strahleninvolution. 63
= 2 0
a 2 b b
M = 22 +9) +0, =0, M,—.3
i i
NS A? +27 )\ +07 =0,
| i
M = r, M, + r9 M3 =0.
Hieraus folgt: Eine Strahleninvolution wird von jeder Geraden in
einer Punktinvolution geschnitten; die Schnittpunkte eines Strahlen-
paars bilden ein Punktpaar.
Dieser Satz zeigt, wie man eine quadratische Strahleninvolution
ergänzt. Man schneidet die Strahlenpaare N,, N, durch eine Gerade in den
Punktpaaren //, und Mo, ergänzt die durch diese beiden Paare bestimmte
Punktinvolution und verbindet jedes Punktpaar derselben mit dem "Träger der
Strahleninvolution, so erhált man die Strahlenpaare derselben. Insbesondere
erhält man die Asymptoten der Strahleninvolution aus den Asymptotenpunkten
der Punktinvolution.
10. Den Begriff projectiver Verwandtschaft hat man auch auf Involu-
tionen ausgedehnt.
Sind, 0, K,==0, K,- Ar 1a Ar = 0 drei Paare einer Inyolu.
tion, so kann die Gleichung für jedes vierte Paar in der Form geschrieben werden
Ke rq A, rq) A, — 0.
Das Verháltniss z,:7z, heisst das Doppelverhàltniss der vier Paare
K, Ky, Ky K und wird symbolisch durch (X, K, X, X) bezeichnet.
Dieser Begriff lässt sich geometrisch anschaulich machen. Ist 4 ein fester
Punkt der Geraden, auf welcher eine quadratische Punktinvolution liegt, und ist «
sein Abstand vom Nullpunkte Q, so wollen wir den vierten harmonischen Punkt $$
zu jedem Paare der Involution und zu .4 bestimmen. Ist O — /, so ist,
wenn B die Strecke PP' im Verhältnisse y, : y, theilt:
vik + voi!
1. =
. ^ : M cius
Nun sind aber PP'AP harmonisch; also ist nach dem Begriffe harmonischer
Punktpaare v$4:», — — PA: AP' — —(u—23):(' —2a); folglich, wenn man
inl. direkt y», — — (4 — 3), y — M" — a setzt:
2A M reall, (X —+ A)
9. l= —————
À + À
Sind nun M, — 0, M, = 0, M, = 4, M, +795 M = 0, Mr, 4 M,
+ 7979 M, = 0 die Gleichungen zur Bestimmung der Punktepaare M,, M,, M3,
M, so ergeben sich fiir AA und À + \' aus der Gleichung M = 0 die Werthe
3 D us alae ri^ Valin 7333143 7k 72356,
£i149 + "31259 AU d "3209"
Aus diesen folgt weiter
ln (da + 401) + 7975 (by + aby)
71M @ + 791201
Setzt mon hierin der Reihe nach 7, = 0, '7, = 0, 7, =r, == 1, so ergieht
sich für die Punkte 3, B, $$,, welche den Paaren M, M, M, und dem Punkte
A harmonisch zugeordnet sind
e ER
>
Z
5 um e bz dy
; = — ; 2 =
Q4 by
A iod (@9 + aay) +719 (bg +281) — 310414, 4 196,4
2 3141 7 1201 T1@ + 1261
Hiernach lässt sich fiir / schreiben:
6 dj f 55
£i4194 77 F2 120,
WENN
