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Gleichung 7.
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*unctions-
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tenzreihen
Lo
die mit der
§ 18. Die elliptischen Functionen.
Jy
Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 759
sinw T,
und neben diese Function treten noch eine Reihe algebraisch mit ihr zusammen-
hängende, cosw, fangw, cotw, secw, cosecw; es zeigt sich, dass diese einfach
periodischen Functionen für die Theorie sowol, wie für die Verwendung von
grösserer Bedeutung sind, als die unendlich vieldeutigen algebraischen Integrale,
deren Umkehrungen sie sind. Von dem dort befolgten Gedankengange angeleitet,
betrachten wir die Umkehrung des elliptischen Integrals
dz
9
— =
y1 — Rsin?e
algebraischen durch die Gleichung z — sing zusammenhängt, führte
a
0!
errr mm
(1 — 22) (1 — 2223)
Ausgehend von der goniometrischen Form
)
JacoB1*) für e, als Function von z» betrachtet, das Zeichen ein
9 — amu (— Amplitude von v).
Hieraus ergiebt sich dann für die Umkehrung von 1. die Functionsbezeichnung
e
^
Hieraus folgt
; ;
V1 — 32 = cosamw .
sinam (Sinus amplitudinis v) .
Neben diesen beiden Functionen ist noch Vi — &?z? von besonderer Wich-
tigkeit; sie wird nach JAconi mit
Aamw (Delta amplitudinis e)
bezeichnet; simamw, cosamw, Nam nennt man elliptische Functionen im
Gegensatze zu den elliptischen Integralen.
Aus 2. folgt dp = A(p) dw,
Hieraus ergiebt sich
asin amav
Sh
dcos amw
dw
d am zw
dw
Ueber die Vorzeichen verfügen wir so,
daher ist
d am w
v EL em À am zw .
ferner
dsinamw damas
damw dw
dcos am damw
damw dw
dams damw
damw dw
cos amw A am w
=— — sinamwhamw,
— — R2 sin amw cosamaw.
dass dem Werthe z — sin am w = 0
die Werthe cos am w = A am w = + 1 (nicht — 1) entsprechen.
2. Bezeichnet w den Werth, den das elliptische Integral erster Art für die
Punkte der mit den nöthigen Querschnitten versehenen Variabelnfläche hat, in
welcher zw mit z zugleich verschwindet, so ist
*) JACOBI, Fundamenta nova etc., pag. 30.
c
4
= saec.
Der allgemeine Werth des Integrals ist w + m 4K + n-2K'i, es ist
daher auch
2 -—
Daher haben wir
sin am (w + m. 4K + n 2K i).
sin am (w + m -4K + n-2K'i) = sinamw.
Hieraus ergiebt sich die Haupteigenschaft des Amplitudensinus,
