ntlich unter- 
it die reale 
elliptischen 
nächst ist 
K"} — 0. 
gen 
20 À am w 
ul am v0, 
cos am, 
4 -- 29 an, 
ihre realen 
§ 18. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 
Unter Berücksichtigung der in No. 3 gegebenen Werthe ergeben 
  
  
Additionssátze 
cos am w 
sinamw Lt K)y=+ t 
A am w 
à sin am w 
6. cosam(w £ K) =x A ———— 
À am w 
À am (w + K) = = ; 
( ) À amw ? 
sowie 
sinam(w + 2 K) = — sinamw, 
7. cosam(w + 9K) = — cos am w, 
À am (w x= 2K) = Aamw . 
761 
die 
Aus der letzten dieser Gleichungen folgt, dass die Function Aamw die 
reale Periode 92A hat. 
Aus der zweiten ergiebt sich 
cos am (w — 4K) = cos am w; 
die Function cos am w hat daher die reale Periode 4 K. 
Um sen am (w -— £K'), cos am (wo + ZK'), Nam(z -- £K') zu erhalten, be- 
merken wir zunáchst, dass 
  
SEN QA U 1 Sin am w 
cosamw — ** sin? am w > Aamw 
Substituiren wir hier w = ?Æ', so wird sin am w 
sin am à K" 
cos am i K' 
sin am i K' 
2 UU Ro] 
? A am iK' 
per 
dumm 
SEIN“ AM W 
— oo und es folgt 
1 
A’ 
Ze 
Dividirt man nun in den Additionsgleichungen Zähler und Nenner durch 
sin? am w' und setzt dann w' = iK', so erhält man 
sin am (w + iK") = 
À am (w + {K") = — is 
Durch wiederholte Anwendung entsteht 
sin am (w + 1-2 K") = 
9. cos am (w +i-2K") = — 
A am (s +:-2K") = — 
Aus den Gleichungen 9. und 7. folgt 
ces am (w 4- 9K -- i- 93K") = 
und aus der letzten in 9. 
æ sin am w? 
8 NO . Aamw 
8. cos am (wW + (KK = — d. I———— 
7 R Sin an w 
) 
cos am w 
sin am W 
sin amow, 
cos am w , 
À am w . 
cos am w . 
À am (w +: 4K') = Namw. 
In Verbindung mit dem im Anschluss an die Gleichungen 7. haben wir so- 
mit: die Function cos am w_ hat die :eale Periode 4 und die complexe 
2K--:-9K'* 
imaginäre i4X'. 
; die Function Aazew hat die reale Periode 2X und die 
9. Um uns diese Ergebnisse anschaulich zu machen, zeichnen wir auf der 
w-Ebene zunächst die Linien, für welche eine elliptische Function dieselben 
Werthe hat, wie für die Punkte der realen und der imaginären Achse; die 
Punkte, für welche die Function verschwindet, unendlich gross oder gleich der 
positiven oder negativen Einheit wird, sind der Reihe nach durch kleine Kreise, 
Sternchen, einfache und doppelte verticale Striche ausgezeichnet.