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— 
p 
Mitgetheilte; 
, unter Rück- 
v zu nehmen. 
  
  
utige Func- 
w und dem 
gt sich s auf 
IEMANN'schen 
n æ, anfängt 
> der einfach 
1 z-Fläche ist. 
gewählt, dass 
von w keinen 
dlt. Geht w 
| hierauf den- 
so geht ein 
| z von f, bis 
enden Punkte 
ig / = ud PO 
ge bei diesen 
, für welchen 
kleinen Ver- 
cung des zuge- 
on des Weges 
ürch stetige 
werden kann, 
VON 527 am W 
, für welchen 
8 18. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 765 
Er (Er) 
unendlich gross wird. Dies tritt nur ein, wenn z = oo, und hierfür ist 
w= ik + 9mK 4 9p5piK. 
Es müsste also, wenn zv einen geschlossenen Weg beschreibt, der einen 
dieser Punkte umgiebt, z von einem Anfangswerthe C£, zu einem andern End- 
werthe zo gelangen. Wir können uns dabei darauf beschränken, æ einen unendlich 
kleinen Kreis beschreiben zu lassen, der einen dieser Punkte einschliesst. Nun ist 
sin am K' + 2mK + ink + per) = + sinam(i K'! + pe) 
de 
& sin am pete 
wächst ¢ von 0 bis 2x, so beschreibt z& — pe/? einen unendlich kleinen Kreis 
um den Nullpunkt; dieser schliesst keinen Punkt ein, für welchen 4z : dw — co, 
also erlangt sin am p% am Ende desselben Wegs denselben Werth, wie am An- 
fange; mithin gilt das gleiche auch fiir siz amw, wenn ww einen der Punkte 
iK' + 2mK-+72nK' umkreist. Hieraus folgt, dass bei jedem geschlossenen 
Wege von w auch z = sin amw einen geschlossenen Weg beschreibt; folglich 
kann sn ama nicht eine mehrdeutige Function von w sein. 
Da z = sin amw eine eindeutige Function von w ist, und cos amw = V1— 22 
und Aamw = V1— k?z? eindeutige Functionen von z, d. i. der Punkte der 
RIEMANN'schen Variabelnfläche sind, so folgt, dass auch cosamaæ und Aamw ein- 
deutige Functionen von ze sind. 
) 
  
10. Die elliptischen Functionen sz az, cos am, Mam sind eindeutig und 
endlich innerhalb des mit dem Halbmesser A' beschriebenen Kreises; folglich 
lassen sie sich in Potenzreihen entwickeln, die für modw < K' convergiren. 
Da sin amw mit das Zeichen wechselt, cos azz»v. und. Aamzw aber nicht, 
so folgt, dass die Reihe für szzazi nur ungerade, die beiden andern Reihen 
nur gerade Potenzen von ze enthalten; wir haben daher Reihen von der Form 
SEN AM — a4 -r az wi + a wd + 
cos am — 1 + byw? + b, wt + 
Ame — "1 + €, w! + €, wt + 
2 4 
Zur Bestimmung der a, 2, c bedienen wir uns der Methode der unbestimmten 
Coefficienten. Nach No. 1, 3 ist 
dsin ama 
—— em 0$ mw amo. 
Differenziren wir nochmals, und benutzen die Formeln für den Differential- 
quotienten von cos amw und Aamw, so erhalten wir 
d? sin ama UT 
ce (1 + &2) sin amw + 242 sind amw . 
dw 
  
  
Setzen wir auf beiden Seiten dieser Gleichung die Potenzreihe fiir sin amaw 
ein und vergleichen die gleich hohen Potenzen von w, so erhalten wir für die 
Coefficienten 2,, 24,, 25, ... die Gleichungen 
8.2.95 — -— (1 + 79a, 
5- 4-a; = — (1+ 72a; + 27243, 
7-6-0, = — (1 + Æ) a, + 6h aña,, 
9.8.09 = — (1 + #*)a, + 64?(a?2a; + a,aë), 
11-10-2,,— — (1 + £2) a, + 2£%2(3a2a; + a} + 6a,a,a;), 
13 12-4, = — (1 + £2) a, + 242(Bala, + 3a,a? + Ga,a,0; + Bala).