- für szz ama 
Coefficienten, 
J 28 4 £8 
9 
«719 
+ 
irch. gelangen 
+ 254 64), 
6445 
———— « 40) 8 
2c, €) 
208 — . .. 
KÓNIGSBERGER, Vorlesungen über die Theorie der Ellipt. Funct., Leipzig 1874. pag. 230. 
8 18. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 367 
Die Reihen für die Produkte je zweier der Functionen sinamw, cosamw, 
Aam:w erhalten wir, indem wir die soeben entwickelten Reihen nach z differen- 
ziren; es entsteht: 
cos amw - À amw 
1 + 1422 + £4 
> Toga 
sin amw - À amw 
Led? 1 + 44 £? + 16 24 
1 + 42 
cn Send 2 
E 155 
  
204 — 
vere. i$ TE 
SIM AMI + COS AM QU 
4 + £g? 3 16 + 44%? + £1 ; 
— w — 1:57 3 2209 1 i >i. * 20? — , 
modw << K'. 
3. Wir werden nun die elliptischen Functionen in Fourizr'sche 
Reihen entwickeln; vorher wollen wir die FouniER'schen Reihen auf complexe 
Variable ausdehnen #). 
Die Function /(z) sei periodisch und habe die reale oder complexe Periode w; 
sie sei ferner endlich und eindeutig inner- 
halb eines unendlichen Streifens 4, 4, Y 
DB, P,, dessen Ründer mit der vom Null- 
punkte nach dem Punkte w gezogenen 
Geraden parallel sind. Nach der Voraus- 
setzung zerfällt dieser Streifen in con- 
gruente Rechtecke, deren in der Richtung Peli 
des Streifens gemessene Linge A, 4, 
einer Aenderung des z um den Periodi- 
citätsmodul w zugehört, so dass für homo- m 
loge Punkte dieser Rechtecke /(z) den- 
selben Werth hat. 
  
  
  
; ; . 0 
Wir führen eine neue Variable 7 
durch die Gleichung ein 2 (M. 571.) 
nz. 
l. eu f 
und setzen 7 — zei?; dann ist 
Zw 0 
o g —-.— $n 6g 
4L i 
Bewegt sich z auf einer Parallelen zu 4, 4,, so durchliuft es die Werthe 
% + mo, wobei m real ist. Gehören 7, und 0, zu z + mo, so ist 
Zw e 
3. fe mum os T1 "ac i 
Durch Subtraction von 2. und Division durch « ergiebt sich 
£7, 1 
mn = — r4 + 37 (01 — 9). 
Da m real ist, so folgt hieraus 7, = 7; ferner folgt für % = 1 der Werth 
à, = 0 + 2x; beschreibt also z eine Parallele zur Streifenrichtung, so bewegt 
sich 7 auf einem Kreise, schreitet z um « fort, so durchläuft 7 einen vollen Kreis. 
Hieraus folgt, dass den Normalen zur Streifenrichtung in der z-Ebene 
Strahlen durch den Nullpunkt in der 7Ebene entsprechen. 
¥) Brior et BouQuET, Théorie des fonctions élliptiques, 2. éd. Paris 187s. pag. 16r.