|
4
1
3
i
1
|
768
Integralrechnung.
Gehören nun zu 4, À, und B, B, die Werthe 7 =r, und » =r, , so ent
spricht dem Rechtecke 4, 4, B, B, der zwischen den mit den Radien #, und
7, beschriebenen Kreisen enthaltene Ring. Da nach der Voraussetzung f(z)
innerhalb dieses Rechtecks eindeutig und endlich ist, so ist die Function
= 10)
f (- P T jt ;
die aus /(z) durch Ersetzung von z durch # hervorgeht, eindeutig und endlich
für den zwischen 7 = 7, und » = 7, enthaltenen Kreisring. Daher kann diese
Function (813, No. 13) in eine Reihe von der Form entwickelt werden
oo
SR qui.
Wenn man 7 wieder durch z ersetzt, so hat man daher
-Feo
2ams.
4. Jay us > ae
eee CN)
gültig zunächst für das Rechteck 4, 4, B, B,; da aber fiir zwei Werthe z und
2nwz :
Z J- o sowohl /(z) als e e ^ denselben Werth haben, so folgt, dass die Reihen-
entwicklung für den ganzen zwischen den Geraden A, 4, und Z, A, enthaltenen
Streifen gültig ist.
Für die Coefficienten hat man
i ^
T [7 £—2-A df
erstreckt über einen Kreis, dessen Halbmesser zwischen 7, und z, liegt; führt
man z ein, so entsteht
5. a, = 1 feu “ds.
erstreckt iiber 4,4,, oder eine innerhalb des Streifens liegende parallele und
gleiche Strecke.
Ersetzt man in 4 und 5. die Exponentialgrôssen durch goniometrische
Functionen, so erhält man die FOURIER'sche Reihe in der Form
eo
: ; . Qanzs
f(z) =a, + i (a, —a._,) sin—
w
1
eo
2nunz
+ (45, == Arr) v DOS wm,
0
1
die mit der $ 11, No. 12 mitgetheilten übereinstimmt.
14. Ist f(z) = sinamz*), so schlagen wir zur Ermittelung des Integrals
: 4K
z mr ———————— d 1 » : NT Z =
| mud fT:
| Un = AK f(x) « dz
I Ji JD» : ; 0
P ER Ei folgenden Weg ein.
Ee JE Hi ? 4 Li 9D D. Hat das Rechteck OABC der Reihe
t NT. S. . a > > Pj.
Z, i D nach die Eckpunkte z—0, 4X, 4K4-9X';,
| 4 9 K'z, und umgehen wir die beiden Punkte
| : , D und Z des Perimeters, für welche z — zK'
0
und 4.K 4- zK' ist, für welche also szz amsz
*) Den bisher aus leicht erkennbaren Gründen festgehaltenen Gebrauch, die Variable in den
elliptischen Functionen mit æ zu bezeichnen, geben wir nun auf.
unen
Punkt
schwi
J
I
dense
die S
Punkt
gross
Y
und l
S
direnc
hat.
nach,
bezeic
so fol,
Un ==
D
1:
