= 74, SO ent-
idien zy und
ssetzung /(z)
iction
und endlich
r kann diese
rden
Verthe z und
; die Rethen-
, enthaltenen
, liegt; führt
parallele und
yniometrische
Integrals
à
<
dz
'C der Reihe
,4K-r-9K'i,
eiden Punkte
2lche 2 = zK'
| also szz ams
Variable in den
8 18.
Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 769
unendlich gross wird, durch verschwindend kleine Halbkreise, und schliessen den
Punkt 2A 4- 2 A'7, in welchem szzazz ebenfalls unendlich ist, durch einen ver-
72
schwindend kleinen Kreis #, /, H, aus, so ist für die Function fe 2K dz
JOA [AD ID DD. IDE-IBCA JCE, t TE, EE,
+ [E,0 + [HH H, =0.
RTE
In correspondirenden Punkten von OC nnd AB haben sin amz und e 2X”
denselben Werth, dz aber entgegengesetzt gleiche Werthe, mithin verschwindet
die Summe der auf diese Strecken bezüglichen Integrale. In correspondirenden
Punkten der Seiten O4 und BC hat sin amz gleiche Werthe, zur Kxponential-
TA
grósse tritt aber der Faktor e^" x
Wir setzen
und haben daher
[04-- JBC — (1 — 4) fo A.
Statt des Integrals {Er Æ, Æ, kônnen wir [D0,5,2D, setzen, da in correspon-
direnden Punkten beider Halbkreise die zu integrirende Function gleiche Werthe
hat. Für die Kreisintegrale über D, D, D, und #, À, H, setzen wir der Reihe
nach, indem wir den Radius mit x bezeichen,
2=2K+Ki+ ree, bez. =4K + K'i + res,
bezeichnen die verschwindende Grosse 7e¢7¢ mit o und beachten, dass
; = i 1
sin am(2K + K'i + p) = — UJ I
6 sin amp
1
sinam(4K + K'i + p) = 7—— ..
° Sin am 0
Somit erhalten wir
2x
> n Ir Sos gran yf o» SR
DD oat o V eigo.
J sin am ©
0
Wir gehen nun zur Grenze für ein verschwindendes p über; da
ZU ;
= el, Zee IR" = 1,
sin amp
so folet
2 rT |
UT DD, + |, HS rdg ere dg.
€
Hieraus erhalten wir
1 AO eel ye qm cnr -—4 yg"
qu E 4K fo E 9K ; A e ] — gr = 9K Bs ; : ] g^
Daher 1st
S
An + Qo, — 0,
sD yg?
Q2, — 49, — 0, Q254--j — Q4—9,4—1 — — 4 d |
Dies ergiebt nun die gesuchte Entwicklung
$n ama ==
(VE c yg — a Vy ^s
TRE I * SIN IK -- T SIN 9X i S272 9K vite ) .
15. Zur Ermittlung des geradlinigen Integrales
SCHLOBMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II.
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