6X 4-9 K'i, 
chliessen die 
A Kl und 
)eren dieses 
für welche 
wird, durch 
ende Kreise 
al erstreckt 
les Parallelo- 
der Summe 
itegrale. |. In 
nz und die 
verschwindet 
eiche Werthe 
"mp . 
£9 R 
np, . 
es x 
cos amz = 
e| Vo 22 YB 0m. yz 
ipie pigeat 
geradlinige Integral auszuwerthen 
2K 
nz | 
f^ amse K' dg. 
0 
Wir integriren die unter dem Integralzeichen stehende 
Function auf dem Perimeter OAZC, in dessen Ecken 
= 0, 2K, 2K + 4K'/, AK';, und schliessen die 
Punkte K'Z, 3K, 9K + K'i, 2K + 83K'Z, in welche 
Aam unendlich gross wird, durch kleine Halbkreise 
aus. Die Integrale {iber 48 und CO haben wieder die 
Summe Null. In correspondirenden Punkten von O4 
und CD hat Aa z gleiche Werthe, die Exponentialgrósse 
nimmt den Faktor an 
An A" à 
CR uU 
) 
die beiden Integrale geben daher zusammen 
(1— $74). fO A. 
   
   
  
   
Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 771 
n2 
SE mL ER 
16. Um Aamz in eine Fourirr'sche Reihe zu entwickeln, haben wir das 
J 
* (M. 574.) 
Die vier Halbkreisintegrale kann man durch zwei Kreisintegrale um zX' 
und 3ZA' ersetzen; wir substituiren in denselben 
z — lK +p, bez = 8Z/Æ'+p, p = 
und bemerken, dass 
Nn, Lx 
PL pri cos am 
A am (1K' -- p)-e x B rait Lg 
sin am p 
E (30K + +p) „COS an p 
Aam(3-iK' + p)-e 
sin à am p 
—A 
—3u 
re, 
NT . 
UO 
3 
E) 
"up ; 
e X 
Für die beiden Kreisintegrale ergiebt sich, wenn man p unendlich klein nimmt, 
9x (g7* bol q 9) ; 
Daher ist 
T 
REL. PUB m 
K Lg. K lg»? 
dà 4. — 45, so ist 
dy 7 Een == 0, 
Un + qo, = : m t s go > . 
Æ 149" 9 KR 
Dies liefert schliesslich 
A am z = 
T 2x g TZ 7? 2zz 2? 
3E UK f PR TR ta, 
Diese FOURIER'schén Reihen für sin am z 
3nz 
QE eeu. 3. 
, €o0$ am z und A am z gelten für alle 
Werthe von z, welche innerhalb des Streifens liegen, der sich parallel der realen 
Achse erstreckt und dessen Ränder durch die Punkte + zX' gehen. Jenseit 
dieses Streifens wiederholen sich die Werthe der elliptischen Functionen, gemäss 
ihrer complexen Periode, und zwar bei cos amz und Aamz mit V orzeichenwechsel; 
die FOURIER’schen Reihen sind aber nur einfach periodisch und setzen sich jenseit 
des Streifens mit andern Werthen fort, als die Functionen, 
Punkte im Innern des Streifens übereinstimmen. 
mit denen sie für 
49*