Integralrechnung. 
i (52) 
— 789% 
14. A am w = yz A MK 
Setzt man die Reihen selbst ein und bezeichnet wieder 
LA = ; 
ee KT mit 4, 
so erhält man 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
15. Stn am w = 
1/— . RW gg . IT A4d/wzo. OR 
1 9 Ÿ q - sin SE 2 V2? szn Sx + 2 V 225 sin SX 
OFT TT € J 
2 TW : 920 : ST 20 
Y 1 — 24 ces 7 + 294 cos es 9g? «es X + 
16. cos am w = 
4 /— TT 4 = 3TW 1/73 DU 
Vz 2 2c05 ge 2 V? 00555 + 2 V9? cos SX 1 
-L d 
mt TW 2rw 3TW ; 
1 — 29 cos Uu + 29* cos TEST 2 2? cos xt 
17. À amw = 
TW 2 «20 5:3 6x20 
4 4-99 cos 55 + 9425 60$. «X + 29° cos = 
2 2 NN ES 
V i 5 TW 35% 2 n qt 2.9 6 x zU 
— 29 cos + 29% cos —— — 29° cos —— 
6. Nach der Betrachtung von algebraischen Integralen, welche eie lrra- 
tionalitát zweiten Grades enthalten und einfach periodische Functionen zu Um- 
kehrungen haben, wendeten wir uns zu algebraischen Integralen mit Irrationalitüten 
dritten. oder vierten Grades, erkannten zwei verschiedene Periodicitütsmoduln 
und wurden durch die Umkehrung zunächst der einfachsten Integrale dieser Art 
auf die doppelt periodischen Functionen geführt. 
Man kann auch den umgekehrten Weg einschlagen. Von der Existenz ein- 
fach periodischer Functionen ausgehend, kann man fragen, ob es auch doppelt 
periodische Functionen giebt. Man wird versuchen, solche Functionen durch 
Reihen darzustellen, deren Glieder selbst einfach periodisch sind. 
Hierdurch wird man auf die Betrachtungen geführt, die wir in No. 1 ange- 
stellt haben, gelangt so zur Aufstellung der Thetafunctionen, bildet die doppelt 
periodischen Functionen /(z), g(z), %(z) und findet dann, dass diese Theta- 
quotienten Umkehrungen bestimmter Integrale sind. Auf diesem Wege gelangt 
man sehr rasch und ohne schwierige Betrachtungen zur Kenntniss einer Fülle 
von Beziehungen über die doppelt periodischen Functionen; die Hauptschwierig- 
keit, die in der Untersuchung der Integrale complexer irrationaler Functionen 
liegt, erscheint erst am Schlusse. Dieser Gedankengang war vorzuziehen, so 
lange die Theorie der Integrale complexer Functionen noch nicht den gegen- 
würtügen Grad von Evidenz erreicht hatte. 
7. Wir wollen nun zeigen, wie das Additionstheorem elliptischer 
Functionen mit Hülfe der Thetafunctionen gefunden wird *). 
Aus den Gleichungen No. 3, l. bis 4. erhalten wir, indem wir z, & und p 
durch $(3 +0), L(s — €) und 1p ersetzen, 
*) ScHELLBACH, Die Lehre von den ell. Integralen und Thetafunctionen, 8 24, u. f. 
    
  
   
   
    
    
      
      
   
    
   
   
   
  
  
  
  
  
   
    
   
   
  
  
  
    
   
  
    
  
  
1. 
2 
5. 
4. 
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9. 
6. 
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9. 
10. 
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13. 
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16. 
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17. 
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18. 
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80. 2 
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99.