792 Integralrechnung.
endlich für jedes endliche z; hieraus folgt, dass sich @(z) in eine FOURIER'sche
Reihe entwickeln lásst, die für jedes endliche z gilt, und die Form hat
0 (z) = Y, . en 2s
Entwicklung einer Function nach steigenden und fallenden
Potenzen der Variabeln nur in einer Weise möglich ist, kann auch die damit
engstens zusammenhängende Entwicklung in einer FOURIER'schen Reihe nur in
Ebenso, wie die
einer Weise existiren. Wenn daher zwei Entwicklungen derselben Function
vorliegen
Jay me XA, en 2iz = > Byen 2,
x /
so folgt
/ RP
: An == Dr
für jeden Werth von z.
Mit Hülfe dieser Bemerkung und der Functionalgleichung No. 5, 9 sind wir
im Stande, die Coefficienten A, zu bestimmen, bis auf einen constanten allen
gemeinsamen Faktor. Ersetzen wir in der Gleichung
O(z) = ZA et 205
die Variable z durch z + rt, so entsteht
9 (z zie t) = S, end . ques
aus No. 5, 9 folgt ferner
(iz +1) = Z(— 4, ) + 6-7. eln—1) 2,
Vergleichen wir in diesen beiden Entwicklungen die Coefficienten e»‘2, so folgt
Es
A, en t2 = — Are ZT,
oder Aye Tem A WS
dies ergiebt
Ape t um (— 124,
Wobei 44 eine noch zu bestimmende Constante bezeichnet.
Wir haben somit den Satz: Jede eindeutige Function, die die reale
Periode x hat, der Functionalgleichung genügt
fle +1) = — HD),
und für jedes endliche z endlich ist, giebt die FourieR'sche Entwicklung
J o 5
--oo
4 c yer Beirne
oo
wo alles bis auf À vôllig bestimmt ist; jede solche Function ist daher von
0 (z) nur durch einen constanten Faktor verschieden.
4. Setzen wir — it = p, also *-— 7p, und vertauschen wir z mit -— 2,
so erhalten wir sofort die Beziehung
]: 0 == 4.896).
diese Gleichung lehrt, die füundamentale Thetafunction (3) In ein unend-
liches Produkt zu verwandeln; die Verwandlung ist bis auf einen Zahlen-
faktor A geleistet, der noch bestimmt werden muss. Setzen wir Z0, so
entsteht
Da nun 0(0) — 1, so folgt
9(0)
Nach No. 5, 5 ist
€ —7(z + i zp)
B up iio mtn 2);
86-1 = G17, % ©)
da nun bekanntlich
so folg
3.
Se
zz,
4.
Da
5.
Hi
ausge
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drückt
(1.— 2
Wi
6.
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7.
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8.
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9.
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10.
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