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8 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 803 
Daher ist die rechte Seite von 1. in derselben Weise unendlich vieldeutig, 
wie das Integral 
  
Die Gleichung 
1 — £2 E : 
9. T dz = Fw + Z(w), sz — snam. 
ist daher erschöpfend, beide Seiten stellen dieselbe Gruppe von doppelt unend- 
lich vielen Werthen dar mit den Periodicitätsmoduln 4Z und 2i(Z'— K'). 
6. Un fir G(w) und Z(w) eine Fourier'sche Entwicklung zu erhalten, 
suchen wir eine solche zunächst für die Function sin2amw. Zu diesem Zwecke 
haben wir das geradlinige Integral zu ermitteln 
2K 
: onm 
/ sinfamwe 4 dw , 
0 
da sin? am w die reale Periode 2X hat. Wir integriren die Function 
  
> x 
sin2amw-e  K 
entlang des Perimeters eines Rechtecks, dessen Ecken OA47C der Reihe nach 
w — 0, 2A, 2K -4- 9; K', 22 K' sind und umgehen dabei 
die Ausnahmepunkte 7Æ' und 2K + :Æ' durch ver- tae. 
schwindende Halbkreise. In gleich weit von der realen | | 
Achse entfernten Punkten von OC und AB hat die zu J 
Fe 
integrirende Function denselben Werth, die auf diese Strecken / 
v. . Fr . u . Q i Ó 
bezüglichen Theile des Integrals verschwinden daher. In a d 
gleichweit von der imaginüren Achse entfernten Punkten be = 
e . 2: : | 
von OA und CB hat sin am w denselben Werth; für die | | 
; * . VT x . - i | 
Punkte C7 trit aber infolge der Exponentialgrósse der LL ——— —] 
> . : 0 A 
Faktor hinzu 
un p (M. 575.) 
eC AR = 4 ; 
es ist somit 
JOD + BC) - a — 704). 
Statt der beiden Halbkreise um zZX' und 2 K + 7Æ' kann ein Kreis um zK 
gesetzt werden. Für dieses Kreisintegral / setzen wir 
JU uA! LR, £z ye, 
und haben 
9x 
1 SE une, 
AF. xU. Rt Ww. 
J £? sin? amt 7 gE T 
0 
Wird die Exponentialgrósse durch eine Potenzreihe ersetzt, so ergiebt sich 
Zn 
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— Eig as 5 do + — ——3 3 de 
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