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Q ^ B 2 E . . + €
3 22. Geometrische Anwendungen der elliptischen Integrale. 817
Um die erste Integration auszuführen, ersetzen wir
sin? w durch sin? w (cos? + sin? €)
und setzen zur Abkürzung
m — B(Ccos? ww + Asin?w), n= A(Ccos? w + Bsin? w);
dadurch geht das Integral über in
€0 1 9r
> do
cos w dw ——r ‘
: J (neos? o -- nsin? q)
wog 0
Substituirt man hier ange = # so erhält man
2x
»
de 4 (1 + #2) dt m + n
mL 6085?0 + usinte) "bsc 7 7 mn Y mn’
0
= 5 0
mithin
01
{1 1 1
S= EnABC- f E =. ) — - C0Sw dœ .
i "n 7 y mn
. Wo
Dieses Integral wird leicht auf elliptische reducirt. Ohne die Allgemeinheit
der Untersuchung zu beschrinken, wollen wir voraussetzen, dass 4 und B gleiche
Zeichen haben, dass bei dem Hyperboloiden A dem absoluten Werthe nach
grösser als B ist und im Falle des Ellipsoids 4 — B < C ist. Setzen wir
Nols ea Ÿ
ag m C? p. Ty C
so sind a und f jederzeit real und « > 8. Mit Einführung dieser Werthe erhalten
wir nun
m— BC —atsinie, nu AC — BR sin? E
001
3 T A B cCoSw dm
S LT = T E m S * 1 = 9 f = i. n $29. 5 FT = cs. En lI = = = T Tx .
V d — a^ $2721? « ——02 $7279 ya E a? sin? o) (1 — 82522? o)
wo
Hierin setzen wir
f ~~ y)
$4 yt — 4
a C 4"
und führen eine neue Variable durch die Gleichung ein
; 1-.
Sinw = no;
ex Y
hierdurch entsteht
€1
S e. T f A B do
n == X - ERE cma d eme ee TREE 90 - - 79 9 e C uA — °
aCyAB. | — sente | — £752229 V1 — £3 sin? q
Po
Wird die Zone von der X Y-Ebene an gerechnet, so ist qo, = 0, und daher
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S — zi ae = /( d — am t de
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ScHLoEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 52
