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III. Theil. Differentialgleichungen. 
$ 23. Allgemeine Sátze über Differentialgleichungen erster Ordnung mit 
zwei Veränderlichen. 
l. Unter einer Differentialgleichung wird eine Gleichung verstanden, in 
welcher Differentialquotienten abhängiger Variabeln in Bezug auf unabhängige 
(neben den Variabeln selbst und constanten Grôssen) vorkommen. 
Ist jede abhängige Veränderliche als Function nur einer Veränderlichen be- 
trachtet, so bezeichnet man die Differentialgleichung als gewóhnliche Differential- 
gleichung zum Unterschiede von partialen Differentialgleichungen, welche 
die partialen Differentialquotienten von Functionen mehr als einer 
Variabeln enthalten. 
2. Wenn eine Differentialgleichung zwischen zwei Variabeln den Differential- 
quotienten zter Ordnung der abhängigen Variabeln und keinen höherer Ordnung 
enthält, so wird sie als Differentialgleichung zter Ordnung bezeichnet. 
Eine Gleichung zwischen zwei Variabeln, die weder den Differentialquotienten 
nter Ordnung der unabhüngigen Variabeln noch hóhere Differentialquotienten 
enthält, und die so beschaffen ist, dass alle Werthe der Variabeln und des T. 
2. 9. . .. bis zen Differentialquotienten, die dieser Gleichung, sowie der durch 
einmalige oder wiederholte Differentiation daraus hervorgehenden Gleichungen 
genügen, auch einer gegebenen Differentialgleichung zter Ordnung Genüge leisten, 
wird als ein Integral der Differentialgleichung zter Ordnung bezeichnet. 
3. Wenn ein Integral einer Differentialgleichung erster Ordnung 
zwischen zwei Veründerlichen x, y so beschaffen ist, dass dieselben Systeme von 
Werthen x, y, dy:dx der Differentialgleichung, sowie auch dem Integrale und 
dem aus dem Integrale folgenden Werthe von dy : 4x genügen, so bezeichnen wir 
es als das allgemeine Integral der Differentialgleichung. 
Durch die Gleichung Z(x, y, y') = 0 werden drei Verinderliche x, y, y' mit 
einander verknüpft; betrachten wir x und y als rechtwinkelige Punktcoordinaten, 
so kónnen wie die Differentialgleichung geometrisch so deuten, dass durch die- 
selbe jedem Punkte x, y der Ebene eine oder mehr als eine Richtung y' zu- 
geordnet wird; diese Richtung kann durch eine Gerade 7' vertreten werden, die 
durch den Punkt x, y so gezogen wird, dass /azg(x, 7") — y'; dann ist also durch 
die Differentialgleichung jedem Punkte der Ebene eine durch den Punkt gehende 
Gerade oder eine bestimmte Anzahl solcher Geraden zugeordnet. 
Ein Integral O(x, y) — 0 der Differentialgleichung reprisentirt eine Curve, 
die in jedem ihrer Punkte von einer zu diesem Punkte durch die Differential- 
gleichung zugeordneten Geraden berührt wird.  Enthált die Gleichung eine 
wilkürliche Constante C, so gehórt zu der Gleichung nicht eine individuelle 
Curve, sondern eine Gruppe von unendlich vielen Curven, die erhalten werden, 
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