x 
826 Integralrechnung. 
durch einen constanten Werth von C genügt werden kann; in diesem Falle führt 
die Elimination von C aus beiden Gleichungen nicht auf ein singuläres, son- 
dern auf ein particuläres Integral. | 
Eine Ausnahme hiervon tritt in den zahlreichen Fàüllen ein, wenn für alle 
Punkte der durch Elimination von C aus 
of 
a C- und 7-9 
: J ) Js ) oC 
sich ergebenden Curve (fiir welche wir den Namen Verzweigungscurve auch dann 
beibehalten wollen, wenn / keine algebraische Function von C ist) die Gleichungen 
bestehen 
of of 
x mud m um 
0X 0y 
Denn dann erfüllen die Tangenten der Verzweigungscurve zwar die Gleichung 2., 
0. : 
es lüsst sich aber hieraus nicht schliessen, dass sie der Differentialgleichung genügen. 
Man hat daher nach der Elimination von C aus / — 0 und 0/:0C=0 
jedesmal erst nachzusehen, ob die resultirenden Curven, bez. welche von ihnen, 
der Differentialgleichung genügen. 
1l. Es sei y' eine z-deutige Function von x und y; alsdann ist auch (No. 7) 
die Constante des allgemeinen Integrales z-deutig durch x und y bestimmt. Wenn 
für einen Punkt P zwei von den Werthen C unendlich wenig verschieden sind, 
so fallen auch die Tangenten an diese Curven in 2 unendlich nahe zusammen. 
Dies sind aber zwei dem Punkte 2 durch die Differentialgleichung zugeordnete 
Richtungen. Wir schliessen daher: Die Verzweigungscurve des allge- 
meinen Integrales ist zugleich Verzweigungscurve der Differential- 
gleichung. 
Hiervon tritt eine Ausnahme ein, wenn ein Theil der Verzweigungscurve 
des allgemeinen Integrales eine Parallele zur Y-Achse ist; denn für jeden Punkt 
dieser Geraden ist y" = Æ co, es fallen also für diese Punkte nicht nothwendig 
zwei Werthe von y' zusammen. 
12. Ein direkter Nachweis für den Zusammenhang der beiden Verzweigungs- 
curven wird zugleich Auskunft darüber geben, ob die Verzweigungscurve der 
Differentialgleichung aus Curven zusammengesetzt sein kann, die nicht zugleich 
der Verzweigungscurve des allgemeinen Integrales angehóren. Die Differential- 
gleichung wird aus dem allgemeinen Integrale 
]. dix, y, C5 = 0 
erhalten, indem man C aus 1. und aus 
od oD 
2. E w=» J ==) 
0x oy 
eliminirt; das Resultat dieser Elimination werde mit ($) bezeichnet. Um die 
Verzweigungscurve der Differentialgleichung zu erhalten, hat man hierauf y' aus 
den Gleichungen 
0 (D 
3. (D) = 0 und 20) = { 
0y 
zu eliminiren. Nun ist : 
0d 20 oC 
4. mee mum RA UAI. 
oy QC Oy 
Die Gleichung 4. zerfällt in die beiden Gleichungen 
E od 
2 o6 rU: 
9C ; 
6, = 0. 
Dit 
y 
  
  
      
  
  
   
   
   
   
    
    
    
  
  
  
  
   
   
  
  
  
   
   
   
   
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
    
  
   
  
  
   
     
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