a hat 
Winkel, die 
9 
o v2; 
ms auf den 
er Anfangs- 
reschwindig- 
n Laufe der 
er in allen 
les Systems 
siebt sich 
z, À, y und 
es 
o 
durch das 
lem nur die 
rcoordinaten. 
  
8 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 885 
Daher 1st 
g? = y? + pèg!2, 
*y — ga um ig 
Ist df der verschwindend kleine Sector, den der Radius x in der Zeit 47 
beschreibt, so ist 2df = 7? 4e, daher folgt aus 13 
€ > 
Ue ej 
Die vom Radius vector des Punktes beschriebenen Fláchen sind 
daher den hierbei verflossenen Zeiten proportional. 
Setzt man zur Abkürzung 
JJ) Or 1, 
und führt auch in 11. Polarcoordinaten ein, so entsteht 
13. p? + r2¢'2 = QU + A. 
Nach 12. hat man 72¢'2 == ¢2 : 2, daher folgt aus 12. 
2 
c 
p? = QU + h — 
p2? 
hieraus ergiebt sich 
dr 
deem — E qur 
14. T EAR CN 
ER m 
i 7 
und aus 14. und 13, 
€ d í cdr ar 
do = E RU md —ÉÉÁÉE——E Y 
15. p? EIS ; a? ye: 
ES + À — (5) : „Va Ua — LE) 
Durch diese Gleichungen ist das Problem vollständig gelöst; insbesondere 
giebt die letzte Gleichung die Bahn, welche der Punkt beschreibt; die Con- 
  
se 
stanten Z, c, 3, und y, bestimmen sich in jedem gegebenen Falle aus der 
Anfangslage, der Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangsrichtung des Punktes, 
Setzt man nämlich fest, dass zur Zeit: 7? = 0 die Grössen 7, 9, 7 die Werthe 
7/9, 9o, 79 haben sollen, und dass zu dieser Zeit die Bahn mit dem Radius 7, 
den Winkel « bilden soll, so erhált man durch Einführung der Werthe », und 
7g in 11. und 14. die Constanten Z4 und y,. Berechnet man aus der Bahn- 
gleichung 15. den Winkel s der Bahntangente gegen den Radius vector, für 
welchen man hat 
16. lange mm Fr, 
und setzt in 15. und 16. 7 = 74, 9 99, © = 4, sowie 'den vorher gefundenen 
Werth von %, so erhält man c und 7, durch die Anfangszustinde ausgedriickt. 
a Ar 
§ 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 
1. Unter einer partialen Differentialgleichung versteht man eine 
Gleichung zwischen unabhängigen Variabeln, abhängigen Variabeln und den par- 
tialen Differentialquotienten der letzteren. Wir beschränken uns auf Gleichungen 
mit einer abhängigen Variabeln. 
2. Wenn eine partiale Differentialgleichung nur partiale Differentialquotienten 
rücksichtlich einer unabhängigen Veränderlichen enthält, so bietet sie nichts 
wesentlich Neues; sie ist zu integriren, als ob die übrigen Variabeln Constante 
wären; die Integrationsconstanten sind durch willkürliche Functionen der übrigen 
unabhängigen Variabeln zu ersetzen.