g linear ist. 
x auftreten. 
? eine will- 
ion e der 
rigen Falle 
! von / ist. 
Sind a, 8, Ÿ 
rs von der 
elen Z, m, 4 
1gleichung 
g— A) zz 0. 
ir nehmen 
punkt des 
nd normal 
chen dem 
Nullpunkte 
igehórigen 
8 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 889 
Ebenen eine Rotationsfliche. Die Gleichung einer Kugel um den Nullpunkt 
ist x2 + y2 + 32 = a2, und die Gleichung einer Normalebene zur Achse 
x cosa + ycosP + zcosy = b, wenn a, B, y die Richtungswinkel der Achse sind; 
daher ist die allgemeinste Form der Gleichung einer Rotationsfláche 
Q(x? -- y? + 2%, xcosa + ycos + zcosy) = 0. 
Wir haben daher in No. 5, 2. 
Jmm X? -- y? 4- s?, gg mm xcos9 -- yeosQ + secos 
zu setzen und erhalten 
|^ 7 1 
| Xx y dm 9, 
| cosu cos cos 
9. Wenn eine Gleichung f(x, 3, % a, 6) = 0 zwei willkiirliche Constante 
enthilt, und wenn diese Gleichung im Verein mit 
pat Ly 
ue a 
durch Elimination von @ und 6 auf die Gleichung 
F(x, y, & f, g) = 0 
führt, so wird / = 0 als volIständiges Integral der partialen Differential- 
gleichung L- OF = 0 bezeichnet. 
Wir wollen nun zunächst sehen, ob ähnlich wie die singulären Integrale 
gewôhnlicher Differentialgleichungen so auch neue Lösungen der Gleichung 
F = 0 dadurch erhalten werden, dass man die Constanten a und 2 durch passend 
gewählte Functionen von x und y ersetzt. 
Wir denken uns für diese Untersuchung das vollstindige Integral auf z 
reducirt, also von der Form 
]. £o Ke, ye 5. 
Sind @ und 6 variabel, so erhält man durch Differentiation 
of ef da ef 6b 
Ti; ae Ta BoA 
es of of Ca of à 
972 54a 0 00 83 
Sollen diese Gleichungen mit denen übereinstimmen, die aus ]. unter 
Voraussetzung constanter ¢ und 2 hervorgehen, so müssen a und 5 den Be- 
  
dingungen genügen 
of oa of 0b 
"NM (a) ~ 7 IIT == 0 
n Oa Ox 0b 6x ? 
9. 4-5 54 à 
of 6a of ob 
o a. -- zr == = 0. 
oa 0y 0b oy 
Hieraus erhält man 
6 5 of 
4 of Dies, a DD) = 0, 
ea 0b 
: oa 0b oa ob 
wobei ) mS L— 4&— — z— x—. 
0x 0y oy 0x 
Um den Gleichungen 3. zu genügen, hat man zu setzen: entweder 
; oa oa 6b 0b vi 
5. m= L— mm a == oa == 
cx oy ox oy ; 
oder 
6. D = 0, 
wobei die Gleichungen 3. sich auf eine reduciren, die mit 6. zu combiniren 1st; oder