wif das voll- 
n €, setzen 
in seltenen 
o erfolgen. 
es aus dem 
hes durch 
ist, heisst 
erhält man 
hung nach 
so erfolgt 
zen wir in 
S 27.  Partiale Differentialeleichungen erster Ordnung. 
© S > > 
  
  
z 1 y 
- = — U + — (xcos8 — y eosa)y -- —. 
cos y cosB ^ o. ILE cost 
Die beiden ersten Glieder der rechten Seite sind zusammen eine wil!kürliche 
Function von (x cos$ — y cosa); daher hat man 
13. z cosB — y cos; == f(x cosB — y cosa), 
wobei / eine willkürliche Function bezeichnet. Aus 
1 . 
xcosB — y cosa = pi [(a cos; — z cosa) cosB + (z cosB — y cos) cosa 
: cos | ; | 
erkennt man, dass man 13 ersetzen kann durch 
D (x cost — 2 cosu, z cosB — y cost) = 0, 
wobei D eine willkürliche Function ist, in Uebereinstimmung mit No. 6. 
Da in unserm Beispiele 
0% 
E mm — 0, 
oa 
so kann es kein singuldres Integral geben. 
10. Wenn eine Gleichung z == glx, 9) die partiale Differential- 
gleichungl. O. #(x, y, z, P, 9) 2 0 befriedigt, und nicht durch besondere 
Werthe für a und 6 aus einem vollständigen Integrale £% = f(x, 5, a, 0) 
hervorgeht, so gehört diese Gleichung zu dem vollständigen Integrale 
entweder als allgemeines oder als singuläres Integral. 
Denn wenn man f(x,y, a, 6) nicht durch Specialisirung der Constanten a 
und 6 in g(x, y) verwandeln kann, so kann man doch jedenfalls für @ und 6 
solche Functionen von x und y setzen, dass f(x, v, a, 0) = g(x,y) wird. 
Aus den Untersuchungen in No. 5. folgt hieraus sofort, dass g(x, y) entweder 
ein zu f gehóriges allgemeines oder singuláres Integral ist. 
Ein vollstándiges Integral, das dazu gehórige allgemeine sowie das zugehórige 
singuláre Integral bilden also ein volilstándiges Lósungs-System einer partialen 
Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhángigen Variabeln. 
11. Wir wenden uns nun zur Integration der linearen partialen 
Differentialgleichungen I. O.; und zwar zunüchst zu Gleichungen mit zwei 
unabhängigen Variabeln. Unter einer linearen Gleichung versteht man eine 
solche, in welcher die partialen Differentialquotienten der abhängigen Variabeln 
nur in der ersten Potenz vorkommen; bei drei Variabeln also eine Gleichung 
von der Form 
0% 0% 
I. Lost il) me mf, 
0x oy 
wobei P, Q, R constant oder Functionen von x, y, $ sind. 
Die Integration dieser Gleichung hángt auf's Engste mit der Integration de 
8 B 5 8 
Systems zusammen 
) dx dy dz 
m Pp — Q — R * 
Hat man nämlich ein Integral /(x, y, z) — a dieses Systems gefunden, wobei 
a eine willkürliche Constante bezeichnet, so ist für alle Werthe, die dieser 
Gleichung genügen ; : 
of of of 
7 dx +— — dv + = 
ox oy ^ 0 
o9. 
Da nun f ein Integral von 2. ist, so erfüllen die x, y, z, dx, dy, dz, die der 
Gleichung 3. genügen, auch die Gleichungen 2., man kann daher in 3. die 
Differentiale dx, dy, dz der Reihe nach durch die Functionen P, Q, A, ersetzen, 
denen sie nach 2. proportional sind; folglich hat man