Integralrechnung.
0 © 0
4 p zi Q Uf. KR 7 == 0.
Ox oy 0%
Da nun
a m in of of
ox. 7 Pron y ay Os!
SO kann man 4. ersetzen durch
03 03
D T. Q A — AR — 0.
ox Qy
Hieraus folgt, dass /(x, y, 3) = a ein particuläres Integral von 1 ist.
Dieselbe Schlussweise kann auch rückwärts durchlaufen werden: Ist 70% v,5)
— a ein Integral der Gleichung Pp + Qg — R = 0, so ist es auch ein Integral
des Systems 2.
Sind /(x, y, z) — a und g(x,y, 5) = é zwei Integrale des Systems 2
so ist das allgemeine Integral der Gleichung 1.
OA) zo,
wobei 9 eine willkürliche Function bezeichnet.
Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, dass der Differentialgleichung
genügt
*)
od oo eo
9. P = KR += =—0
óx + Q Oy > 03 0,
die an die Stelle von 1. tritt, wenn z durch die Gleichung ® = 0 als unent-
wickelte Function von y und x bestimmt ist. Nun ist
od 0D of od og
óx — Bf x ue go ox’
od ob of ob og
— mm = + =
ep «Of ep og op?
eo ó of | 00 De
$z 77 of "eg on og 2
folglich hat man
eo eo od
ox oy 03
0o (6 Ó 6f ob (. 0g 09
EF pl +0 o + R 07 {PA + OS + B=).
of Ox oy 03 0g ox 220) 0%
Da nun nach der Voraussetzung die beiden rechts stehenden eingeklammerten
Polynome verschwinden, so folgt, dass in der That die Gleichung 3. erfüllt ist.
Wir haben somit folgende Regel:
dx
D
Q
Um die Gleichung zu integriren
Ph ei Q2 == A,
bilde man das System gewóhnlicher Differentialgleichungen
dy
da
sind /(x, y, 2) — a und g(x, y, z) = 6 zwei Integrale dieses Systems, so ist
$(f g) — 0
das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung.
12. Sind Ax, y, 2) =a, g(6 3, 2) — 0, und Zi y, 5 ec particulare
Integrale von
Pp + Qg = RR,
so Ist A eine Function von f und g.
Nach der Voraussetzung gelten die Gleichungen
ON
ox
P
Q
eA
oy
R
QA
02
J
daher
folglic
I
der |
enthal
1
A
bilde
mit d
folgt,
in Ue
]
erhält