y 2, dann 
== 0; 
nehr als 
mgen 
hung 
a 
a 5X 
ie Werthe 
in. Nun 
r0 7 
^ darauf 
8 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 895 
dx rdf, dx... 14X = XX, XX, 
sogleich eine integrable lineare partiale Differentialgleichung liefert. 
15. Integrationnichtlinearerpartialer Differentialgleichungen I. O. 
Die Differentialgleichung sei 
I. Flo, v, 56,0) =O, 
Die Grosse p ist eine Function von x und y; sie kann indess auch als 
Function von x, y und z aufgefasst werden, wobei z als unbekannte Function 
von x und y zu betrachten ist; ¢ wird durch 1. als Function von x, y, 3, 
definirt. 
Sucht man nun unter diesen Voraussetzungen ^ und 4 als Functionen von 
X, y, 2, SO zu bestimmen, dass 
: @- 0 
oy OX 
wobei durch die Klammern angedeutet wird, dass die Differentialquotienten unter 
der Voraussetzung gebildet sind, dass z durch x und y ersetzt ist, so wird der 
Ausdruck 
dz = pdx + qdy 
integrabel und liefert durch Integration z als Function von x und y. Nun ist 
3 ày)] Op 0z 0y | Oy dog 
0g 27 Bg 00 (0p | àp 
Setzt man dies in 2. ein, so entsteht 
bg 0p . 02 0g A00. 29 03 
© 0p 0x > Öy > ( 7 05 és s 0x 252^ 
Ersetzt man hierin ¢ aus 1. durch 5, so enthált diese Gleichung nur x, y, 
$, p, ist also eine lineare partiale Differentialgleichung für ? als abhüngige und 
x, y, 2 als unabhängige Variable. Gelingt es, ein particuläres Integral herzu- 
stellen, durch welches p von x, y, z abhüngig gemacht wird und das eine will- 
kürhche Constante a enthält, so hat man dies in l. einzusetzen, und erhilt dann 
aus 1. g durch x, y, 2, a ausgedrückt. Beide Werthe hat man in # = pdx + gdy 
einzusetzen und dann zu integriren. Das Integral enthält ausser @ noch eine 
willkürliche Constante, ist also ein vollständiges Integral; in bekannter Weise 
kann man dann das zugehôrige allgemeine und das singuläre Integral herstellen. 
16. Beispiele. A. Aus der Gleichung 
p29 — 3 = 0 
% 
folgt | g == P! 
daher ist 
04 Z 04 2s 0 04 
s 9» 2-77 == - > op 0g 4 oss d, 
op P 0p * f ex 05 
Die partiale Differentialgleichung fiir p ergiebt sich zu 
= à 0; 2s. 0 
. ez 5 + ——— 7 2 — 1 
  
pox" yp 08 
Dieselbe hat die particuläre Lösung 
po y c a. 
Substituirt man dies in die Differentialgleichung, so folgt 
4 
g = y+