898 Integralrechnung.
Ersetzt man hierin @, à, ¢ durch die Variabeln, so erhält man
23 z
xX ~~ api $ e p? ?
g
rer onlin)
Durch Elimination von ? aus beiden Gleichungen ergiebt sich das allgemeine
Integral der gegebenen partialen Differentialgleichung.
Denselben Gedankengang kann man befolgen, um eine nichtlineare partiale
Differentialgleichung mit mehr als drei Variabeln zu integriren. Man wird von
einer partialen Differentialgleichung mit z unabhángigen Variabeln x4, x5, . . X»
und der abhängigen x auf eine Differentialgleichung von der Form geführt
dx = pdx; + padx, + pydxy + . . + pudx,,
wobei p; = 0x: dx;, und für einen dieser Differentialquotienten sein aus der
Differentialgleichung folgender Werth zu substituiren ist*).
8 98. Partiale Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
1. In der Differentialgleichung
z M oz o
1 D A A. mm 9 *. ^49 TM 0
0X0y 0X oy
substituiren wir
0% 03
Pa $770
Hierdurch geht dieselbe über in
0p 0p — Op 99
2. a. — = = = 0.
2 oy Oy ex: ay
Da nun
: op 04
: oy ox’
so erhält man anstatt 2.
n 01 0 04
4. 0g . ep. — 2 . zZ === 0 :
ox y ax Oy
Hieraus folgt (Differentialrechnung $ 4, No. 5), dass 4 eine Function von
$ ist; und umgekehrt, sobald dies der Fall ist, ist 3. und daher auch 1. erfüllt.
Wir setzen daher
5. 79.0,
wobei e eine willkürliche Function bezeichnet. Durch Differentiation nach x
erhält man hieraus
e^
0d cue
ox =9 (2) ox’
folglich nach 3. ;
: 2 — oni
Dies ist eine lineare partiale Differentialgleichung I. O. fiir p. Der Vergleich
mit $ 27, No. 11. ergiebt
= eh, Q=- 1, âR+— 0.
Folglich ist das System gewóhnlicher Differentialgleichungen zu integriren
dx + ¢'(p)dy = 0, dp = 0.
*) Eine Zusammenstellung der Integrationsmethoden für partiale Differentialgleichungen I. O.
mit ausführlichen Literaturnachweisen enthált MANSION, Théorie des équations aux derivées par-
tielles du premier ordre. Paris, 1875.
Av
und m
wobei
7.
wobei
so erh:
8.
D:
d(
so folg
Se
wobei
Differe
10.
D
E
darstel
folgen
D
S
Ebene
beider
11.
D
Integr
Integr
S 10,
2
stimm
