llgemeine 
€ partiale 
wird von 
Ras + + Un 
führt 
n aus der 
iction von 
1. erfüllt. 
n nach x 
' Vergleich 
Xtegriren 
hungen I. O. 
derivées par- 
§ 28. 
Partiale Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 
Aus der letzten Gleichung folgt das Integral 
foa; 
und mit Hülfe desseniaus der ersten 
Wc yp, 
wobei « und 2 willkürliche Constante bezeichnen. Das Integral von 6. ist daher 
7. x + SD (5, 
wobei 4 eine willkürliche Function ist. Ersetzt man in dieser Gleichung 
v (f)4p = dy, 
so erhält man 
8. xdp + ydq — v(p)dp. 
Da nun 
0% 0% 
d(xp + yg — 2) = xdp + pdx + ydg + qdy — x dx — y dy, 
zz xp -- ydg, 
so folgt aus 8. durch Integration 
9. xp + yg — z = JY(p)dp. 
Setzt man 
JK) dp = WPD), 
wobei 4 ebenso willkürlich ist, wie ¢, so erhält man das Integral der vorgelegten 
Differentialgleichung durch Elimination von ? und 4 aus den drei Gleichungen 
| 2 45, 
10. xp + yq — Z = Y(p), 
2 A gy = gf). 
Das Integral entháit zwei willkürliche Functionen. 
  
Es lässt sich leicht nachweisen, dass das Integral eine abwickelbare Fläche 
darstellt. Denn aus der Gleichung der Tangentenebene 
0% 03 
== — X ccn um — (E— = 
Las 6-9+ 5, a-N—6—9=0 
folgen die Coordinaten von 7' 
u — —— 5 - 7 LT — 9r sd — 
xp II 2’ xp + yg — 3’ 
1 
Daher ist 
uU y 1 
LT e c ) was 5: O01) mere 
? w' 7 mt M 198 T uc 
Setzt man dies in die ersten beiden Gleichungen 10., so erhált man für die 
Ebenencoordinaten der eine Integralfläche beriihrenden Tangentenebenen die 
beiden von einander unabhängigen Gleichungen 
V u 
11. e ? (5) 2 
12 i (=) 
u - Az 
Die Tangentenebenen der den willkürlichen Functionen © und y zugehörigen 
Integralflüáche berühren daher die beiden Fiàchen 11. und 12.; hierdurch ist die 
Integralflàche als abwickelbare Flüche charakterisirt (Analyt. Geom. des Raumes, 
S10, No. 1 u. f). 
9. Um z als Function der unabhángigen Variabeln x und 7 so zu be- 
stimmen, dass 
57*