904 Ausgleichungsrechnung. 
der Differenzen A,, Aa .., die zur Abschätzung der Abweichung der Geraden 
von Z,, P,...dient, einen móglichst kleinen Werth erreichen soll. Wenn, wie 
wir zunächst voraussetzen, die Punkte alle dasselbe Gewicht haben, so wird für # 
eine symmetrische Function der À zu wählen sein. Nehmen wir ferner den 
Grundsatz an, dass nur der absolute Werth, nicht das Vorzeichen der À ent- 
scheidend sein soll, so darf # nur gerade Potenzen der A enthalten. 
Die Bedingungen für das Minimum von 
Bl he)  AÀpmegx,-6-—y 
sind 
oF J OF 
da 5 53 , 
1 o£ 0 or 0 
: B mr To = 
Wir stellen nun noch die Forderung, dass die Coefficienten a und à durch 
die Gleichungen 1. linear bestimmt sein sollen. 
Hieraus folgt, dass 0/7: 0A, eine lineare Function der A, Sein muss. 
== () 
Wir erhalten daher für / eine symmetrische quadratische Function der X, 
die nur die Quadrate der X, enthält. Da ein gemeinsamer Faktor oder ein von 
den A, unabhángiges Glied ohne Einfluss auf den Eintritt eines Minimums sind, 
so ergiebt sich für / die Function 
2. Fes AZ ++ AZ + Af + A A2,. 
Jezeichnen wir A, als die Abweichung der Geraden vom Punkte 2, so 
liegt hiernach diejenige Gerade den Punkten Z,, 2, . . . 2, móglichst 
nahe, für welche die Summe der Quadrate der Abweichungen von den 
Punkten 7, 7, .. ein Minimum wird. 
Aus 2. folgt 
1] .6£ - 
2 A= ax +6". 
Setzt man zur Abkürzung 
£191 + Peds + + + + Pnîn = | 
fW c e 8e cm] 
so ergeben sich zur Bestimmung von « und 2 die Gleichungen 
- 
3. xx) a + [x] 7 iy, 
4. [#]l a H nb y). 
Aus 4. folgt, dass die durch 3. und 4. bestimmte Gerade den Punkt enthält, 
der die Coordinaten hat 
N 
1 1. 
DE (A, X +...) y= nU by ue A); 
dies ist der Schwerpunkt der gegebenen Punkte. 
3. Zur Bestimmung der Ebene 7, welche nr gegebenen Punkten 
Py, Py, .. Fe möglichst nahe liegt, genügen die zur Lösung der vorigen 
Aufgabe getroffenen Bestimmungen. Die Ebene 7° wird durch die Forderung 
definirt 
# = 2 + AE + .. + M2 = Minimum, 
A = ax, + by, + ¢ — 3,, 
wenn Z'die Gleichung hat 
1. 
Zz = ax + by + c. 
Hieraus folgen die Gleichungen 
     
       
    
   
  
  
  
  
  
   
  
   
      
   
  
  
   
    
    
   
   
   
  
  
   
   
  
  
    
   
   
      
    
  
   
  
   
   
   
   
   
   
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