Kreis hat man
‚reis A unter
le Construction.
aus construire
eidet. Hierauf
kt von Z, und
die von diesem
; gleiche Länge
zweiten Grades,
renschaften der
v und y hat im
nlich mit den
otenz, nämlich
eine Form der
, £6, d, €, f, die
in. Giebt man
h die Curve f.
| nur die Lage
stalt der Curve.
hnen zu lernen,
egen die Curve
ie Coefficienten
n ündert.
System aus der
Is die Trans-
:tem bezeichnet.
ordinaten eines
stem durch die
— die Trans-
elbe schliesslich
aus den Coeff-
sammen, durch
iichen bestimmt
es daher dahin
nders einfache
selbst eine ein-
erhält.
steht in einer
Nullpunkt seine
nere Aenderung
8 9. Transformation der Coordinaten. 79
besteht in der Drehung des Coordinatensystems um den unveränderten
Nullpunkt.
Jede beliebige Aenderung der Lage des Coordinatensystems kann, wie man
leicht sieht, durch eine Verschiebung und nachherige Drehung (oder in umge-
kehrter Reihenfolge) erzeugt werden.
Wir wollen nun die Transformationsformeln der Punktcoordinaten zunächst
für eine Verschiebung, dann für eine Drehung des Coordinatensystems um den
Nullpunkt, und schliesslich für eine beliebige Aenderung des Coordinatensystems
aufstellen; hierauf werden die Transformationsformeln der Liniencoordinaten folgen.
3.. Transformationsformeln für eine parallele Verschiebung des
Coordinatensystems.
Der Nullpunkt des neuen Coordinatensystems sei O,, O4 — a, OB — 6
seien die Coordinaten von O, in Bezug auf das ursprüngliche System XO Y, und
die neuen Achsen OX, und OY, seien parallel und gleichgerichtet mit OX und
OY; ferner sei PC| OY, PD| OX; dann sind OC und OD die Coordinaten
des Punktes P bezüglich des ursprünglichen und O, £ und O, 7 die Coordinaten
bezüglich des neuen Systems. Nun ist
OC=OA+ AC= OA+O,£
OD=0B + BD = OB + 0, F.
Bezeichnet man mit x, y die Coordinaten von P im System XO Y und mit
x', y! die Coordinaten im neuen System X'O, Y', so folgt hieraus:
9. qum ue) VE VE
Dies sind die gesuchten 'Transformations-
formeln.
Ist / (x,y) = OU die Gleichung einer EP
Curve in Bezug auf das System XOY, so
erhält man also die Gleichung bezüglich des B
Systems X'O, V', indem man in der Func- >
tion f (x, y) die Grôssen x und y durch 0 ä p ^
x! + a und y' + à ersetzt.
4. Transformationsformeln für
eineDrehung des Coordinatensystems.
Hat das neue Coordinatensystem X'O Y' (M. 593.)
den Nullpunkt mit dem ursprünglichen XOY gemein und ist der Winkel
XOX' ov; ist fener XOP=9g, X'OP=1¢o und OP =r, so hat man be-
kanntlich, wenn x, y die Coordinaten von P im System XOY, und x',y' die
r
y F
im neuen System X'OY" sind: Y Y
X-r0$9, ycrsm.
Ersetzt man durch w + q', so entsteht: d Pp
X = 7 cos (0 + q') = rcoso cos! —rsino sing! e E AN. i
y = rsin (0 + q) —rsino cos! -A- rcoso sing . \ HAN X
Nun it aber ries, rss uy, 4H
also hat man die Transformationsformeln: = = - X
X = £080 X' — sin v - y, m0 4
y = sinwo-x --c0$0 y. N
Ist f (x, y) — 0 die Gleichung einer Curve
für das System XO Y, so ist also die Gleichung
dieser Curve für das System X'OY': (M. 394 .)
J |(cos € - x' — sin o + y"), (sin 0 + x' + cos w -y")} = 0.
