330 Mineralogie, Geologie und Palaeontologie.
Vergleicht man aber die bei einer Species vorkommenden normalen
quadratischen Pyramiden untereinander, so ergiebt jede für sich ein quadratisches
Achsenverhältniss a:6:6 oder @:1:1 und wenn man bei der letzteren Schreib-
weise die verschiedenen Werthe fiir @ mit einander vergleicht, so ergiebt das a
einer jeden dividirt durch das @ einer anderen eine rationale Zahl und man
fand sich dadurch veranlasst, eine solche Pyramide als Grundgestalt auszu-
wählen, von welcher die anderen durch rationale Coefficienten von dem «a der
Grundgestalt abzuleiten sind. Diese als Grundgestalt gewählte normale qu.
Pyramide verhält sich dann zu allen anderen Gestalten der Species, wie das
Oktaeder zu den anderen tesseralen Gestalten, |wesshalb man auch die Grund-
gestalt bisweilen das quadratische Oktaid nennt. Diese Grundgestalt wird
mit P bezeichnet und hat ein numerisch aus ihren Kantenwinkeln zu bestimmen-
des Achsenverháültniss a:1:1. Die halbe Hauptachse @ ergiebt sich dann gegen-
über dem Werthe 1 für die halben Nebenachsen als eine irrationale Zahl.
Diese Ausdrucksweise, die Làünge der halben Hauptachse gegenüber dem
Werthe 1 für die Länge der halben Nebenachsen durch eine irrationale Zahl
grösser oder kleiner als ı auszudrücken, ist gegenwärtig die gebräuchliche, doch
sieht man leicht ein, dass sie nicht die allein nothwendige oder allein richtige
ist. So konnte man z. B. auch die Bestimmung treffen, bei Grundgestalten P,
in denen a > 1 ist, das Verhältniss @:1:1 zu wihlen, bei Grundgestalten aber,
in denen @ << 1 ist, dieses so umzurechnen, dass @ als Einheit gewihlt wird und
dann nothwendig 2 eine irrationale Zahl grósser als 1 ist. Man könnte aber
auch die beiderlei Halbachsen durch Zahlen ausdrücken, welche dem Verhiilt-
niss 2:1 oder r:^ entsprechen, oder man kónnte auch, wie es bisweilen ge-
schehen ist, das Verháltniss a:6 durch Wurzelgróssen ausdrücken, welche be-
sonders bequem für die Berechnungen sind. Immer aber ist das Achsenver-
hältniss der erwählten Grundgestalt ein bestimmtes numerisches und von den ge-
messenen Winkeln abhängiges.
Schliesslich ergiebt sich auch aus der Wahl der Grundgestalt für irgend eine
quadratische Species, dass die Wahl derselben eine willkürliche ist, doch kommt
es selten vor, dass bei einer Species nach Verschiedenheit der Auffassung der
Krystallgestalten derselben nicht dieselbe Grundgestalt gewählt worden ist, was
nach Môglichkeit vermieden wird.
Die gewählte Grundgestalt gestattet nun, aus ihr, wie im tesseralen Systeme
aus dem Oktaeder alle anderen Gestalten der Species abzuleiten oder auch solche,
welche noch nicht an ihr gefunden worden sind und in diesem Sinne werden
alle quadratischen Gestalten besprochen, dass man überhaupt von einer Grund-
gestalt ausgeht, welche das Achsenverhàltniss e:1:1 oder a:6:6 hat.
Was nun zunächst die normalen qu. Pyramiden betrifft, so gestattet die
Grundgestalt P aus ihr andere normale qu. Pyramiden abzuleiten, welche spitzer
oder stumpfer als die Grundgestalt sind. Verändert man nämlich das Achsen-
oder Parameterverháltniss derselben so, dass anstatt a:1:1 das Parameterver-
hältniss z;2:1:1 gesetzt wird, wobei 2 eine rationale Zahl grósser oder kleiner als
I ausdrückt, was man in den Symbolen durch i oder m bezeichnet, so ergeben
sich durch diese Parameterverhältnisse, wenn m > 1 ist, normale qu. Pyramiden,
welche spitzer als P sind und nach Naumann’s Vorgange mit MP bezeichnet
werden. Ist aber æ < 1, so ergeben sich normale qu. Pyramiden, welche stumpfer
als P sind und mit mP bezeichnet werden. Es ergiebt sich daraus eine Reihe
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