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von denen jede m Elemente zählt, werden zur p ten Klasse gebildet. Wie
grofs ist die Anzahl der Gruppen, worin wenigstens k Elemente in der
Reihenfolge ihrer Stellenzahlen erscheinen?
Kommen wir auf die zu Ende des vorigen §. gemachten Bemerkun
gen zurück, so folgert sich leicht, dafs jede der auflösenden Gruppen
mit derjenigen Potenz von r vervielfacht werden mufs, welche die Dimension
der darin vorkommenden Elemente angibt. Die Symbole G x , G 2 , G 3 ...
S,, S 2 , S 3 ...deuten daher auf die Potenzen r k , r 2k ,... r k + 1 , r 2 ^ 1 ,... Die
Gruppenzahl der Versetzungen aus r Elementen-Reihen zur p ten Klasse
ist bekanntlich (rm)pi —1 , die aber zur q ten , wenn x Elemente ausge-
stofsen sind, ist (rm—x^) q ‘—!. Hiernach ergibt sich die gesuchte Grup
penanzahl, wenn die in 2 und 4 gefundenen Darstellungen, wie diefs
hier geschehen mufs, gewählt werden
12 ) A = B' — C' + D' — E' +....
= (p-k-J-1) (m-k-j-l)r k (rm-k) p-k| ' 1 — (p-k) (m-k) P+^rm-k-l) 5 *“' 11 ' 1
- [^y = i^(m-2k+l) 211 r 2k (rm-2k) p " 2k:_l - 2 ( -^^ 1 (m-2k) 2il r 2k+1 (rm^k-l)*"*- 11 - 1 ...]
-f- fp-2k-f 1) Cm-2k-f-l) r 2k Crm-2k) p_2k|-1 — fp-2k) Cm-2k)r 2k+1 Crm-2k-l) p-2k " 1
Hieraus ergibt sich nach 10 leicht die Anzahl der Gruppen, worin
unter den genannten Bedingungen hintereinander k Elemente wenigstens
r und höchstens s mal erscheinen. Wird 12 durch die Zahl aller mög
lichen Gruppen gemessen, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dafs
wenigstens k Kugeln hintereinander in der Reihenfolge der Zahlen er
scheinen werden, wenn p mal aus einer Urne gezogen wird, welche r Ku
gelarten enthält, von denen jede die Zahlen 1, 2, 3... m trägt, und die
gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgeworfen wird,
W _ (p-k+1) Q-k+1) r k (p-k) (m-k)r k+l
1J (rm) k|_1 (rm) k+1 -l
r(p-2k+l) 211 Cm-2k-H) 211 r 2k n Cp-k) 2|, (m-2k) 2l, r 2k+1 (p-2k-l) 2il (m-2k-l) 2 ' l r 2k+2 -|
L l 21 (rm) 2kM + l 2 ' 1 ( rm ) 2k + 21 -' J
, (p-2k+l)(m-2k+ljr ik (p-21Q (m-2k) r 2k+1
' (rmJ 2K| ~ l (rm) 2k+1 i~ l
§. 3.
Die Versetzungen mit Wiederholungen aus m Elementen werden