§ k. Theorema I. Si casu s = h possibilis fuerit aequatio fxx-\-gyy=hzz, 
ita ut litterae x, y, z jam sint cognitae, si vero insuper habeatur haec aequatio: 
PP + fgqq = krr, 
tum nostra aequatio quoque erit possibilis casu s = hk. 
Demonstratio. Multiplicentur enim hae duae aequationes in se, et prodibit haec nova aequatio 
hkrrzz = (fxx -j- gyy) (pp -j- fgqq) =f{px± gqy) 2 + g (py qp fqx) 2 . 
Quare si statuamus 
rz = Z, px ± gqy = X et py zp fqx= 7, 
nascitur haec aequatio propositae omnino similis: 
fX 2 -A-gY 2 =hkZ 2 . 
§ 5. Cor oli. 1. Quodsi ergo litterae p et q ita assumere liceat, ut k obtineat factorem h, 
scilicet k = hl, tum ob s~hhl novus valor idoneus erit s — l, quoniam quadratum hh omittere licet. 
§ 6. Coroll. 2. Quemadmodum igitur ex illo valore idoneo s — h erutus est alius s = hk, 
sive s — lf ita ex hoc simili modo alius novus valor, puta s = m, hincque denuo novus s — n erui 
poterit; atque hanc determinationem in infinitum continuare licebit. Ita ex casu quocunque cognito 
innumerabiles alii derivari poterunt. 
§ 7. Coroll. 3. Si eveniat ut numeri h et k communem habeant divisorem d, tum novus 
valor fk factorem habebit dd, qui ergo expungi poterit. Hoc modo continuo ad minores numeros 
idoneos pro s pervenire licebit, donec tandem ad casum obvium perducamur. 
§ 8. Coroll. 4. Hinc si adhuc fuerimus incerti, utrum h sit valor idoneus ipsius 5, hoc 
autem modo procedendo perveniamus tandem ad casum obvium, tuto concludere poterimus, etiam 
casum h—k esse possibilem. Sin autem hoc nullo modo succedat, vel tandem in minoribus 
numeris ad ejusmodi casum perveniatur, cujus impossibilitas patescat, etiam valor ipse h — k pro 
impossibili erit habendus. 
§ 9. Tlieoreana 2. Si pro nostra aequatione tres innotescant casus possibiles 
s = h, s = h T et s = h rr , tum etiam valor idoneus erit s = h.h J .h n . 
Demonstratio. Quum igitur habeantur tres hujusmodi aequationes, quae sint: 
I. faa -i- ghh =h.cc, 
II. fAA -f gBB — h 1 . CC, 
III. faa -f gfi/3 z=h u .yy, 
ducatur prima in secundam, et productum erit 
hh 1 . ccCC = (faa gbh) (fAA -]- gBB) = (faA ± ghB) 2 -\- fg [aB zp bAf 
Faciamus nunc 
cC = r et faA ± gbB =p et aB zp bA = q. 
ut hoc productum fiat