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Arithmetik und Algebra. 
§ 56. Abgeleitete und zusammengesetzte Proportionen. 
1. Aus einer gegebenen Proportion lassen sich andere Proportionen ableiten, 
indem man mit beiden Seiten gleiche Veränderungen vornimmt. So folgt aus 
aibzrt:d, 
a c quo «cdd 
5 +1=-; =L oder a oder 
(a + 8):5 = (c4- d) : d und (a — 2) :b 5 (e — 4):4. 
Verfährt man ebenso mit 5:a = d:c, so erhält man 
(a+ ):a=(c+d):c und (a —2):a —(c— 2):«. 
Daher ist auch (a --8):(c-a- d) aie 51d, 
(a— 65) :(e—d)=a:c=0b:d mithin auch 
(a + 5) : (ec + d) = (a — 5) : (€ — d) und 
(a + 5) : (a — 5) = (c + d): (e— dd). 
Leitet man aus der gegebenen Proportion zunächst die andere 
ares bia 
ab, so erhält man aus dieser in entsprechender Weise 
@E0):0=C0):06, u. 5. W. 
9. Werden mehr als zwei Verhältnisse einander gleich gesetzt, so erhält 
man eine sogenannte fortlaufende Proportion, wie z. B. 
dCi 
welche sich auch in der Form 
ai bicid: o.=md BC DY. 
schreiben lässt. Hier verhalten sich jede zwei beliebige Glieder der einen 
Seite zu einander, wie die gleichstelligen Glieder der andern Seite. 
Gilt die fortlaufende Proportion 
214—5:B-uCedUD-.. 
so ist auch 
(ga À 38 À cy E &. .) : (Aa E BB -- Cqzk D6...)a:4d = b: B, u s W, 
wobei a, B, 7, à, .. beliebige Coefficienten sind, und in beiden Gliedern des 
Verhältnisses an gleichen Stellen dasselbe Zeichen zu nehmen ist. Bezeichnet 
: ; : b ; 
nämlich 7 den Werth der sámmtlichen Quotienten = 75 Ws Ww, ist also a = Ag, 
bz Hg u s w. so ist 
avid ter 8 Aq a == Bg ck Cg 3 Dg 
da: B6 cp UG EG 
Insbesondere ist daher auch 
(e:bcedd.rQduA--6 -se:4,u s w. 
3. Sind ferner zwei oder mehrere Proportionen 
an Ci U, 255--C:D 
gegeben, so lässt sich aus ihnen eine neue Proportion durch Multiplication, und 
ebenso auch durch Division der gleichstelligen Glieder ableiten. Denn da Gleiches 
mit Gleichem multiplicirt, und ebenso Gleiches durch Gleiches dividirt, wieder 
Gleiches giebt, so folgt aus 
a ES 
=I EEE? 
  
  
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0d: bB = cC: dD und X : 
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