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Anh. 3. Proportionen. 109 
ist. Eine Proportion, welche aus zwei oder mehreren anderen Proportionen 
durch Multiplication der gleichstelligen Glieder abgeleitet werden kann, heisst 
aus diesen letzteren Proportionen zusammengesetzt. 
Insbesondere kónnen die Proportionen, aus welchen eine andre zusammen- 
gesetzt wird, auch einander gleich sein; aus 2: 0 — c : d. folgt also 
42:09-42:42»; q8:09 — (3:49, u. s. w. 
4. Wenn in einer Reihe von Verhältnissen jedesmal das zweite Glied des 
einen gleich dem ersten Gliede des nächstfolgenden ist, wie z. B. in a 5,65, 
c:d,.., so sagt man, dass diese Verhältnisse eine Kette bilden. 
Bilden die ersten Verhältnisse einer Anzahl gegebener Proportionen eine 
Kette, ist also z- B. a benim 
btic=p%y 
cldmr:s 
deuftw, uo 8. W. 
und bildet man die aus diesen Proportionen zusammengesetzte Proportion, so erhält 
man nach Streichung: der gleichen Faktoren in den Gliedern des ersten Ver- 
.. . es 
háltniss Gle-mprilngsu. 
Man sagt in diesem Fall, das Verháltniss 2 :e sei aus den Verháltnissen zz: 2, 
B:9d, 7:5, £: 4 zusammengesetzt. 
Ist hierbei 2:0 — mim, bh:c-— mtn, cid—m: 72, U. S. W., so erhält man 
auc= mm, a:d=nm:n, u.s.w. Man sagt in diesem Falle, @ stehe zu ¢ im 
quadratischen, a zu d im kubischen Verhältniss von m zu m. 
Bilden auch die zweiten Verhältnisse eine Kette, ist also z. B. 
a: = MM 
bien ph 
Cd= fd, 0.8 W, 
S0 ist q:6ummifaidem:g, Wu s. W. 
Die vorstehenden Sätze über zusammengesetzte Proportionen können u. A. 
angewendet werden bei der sogenannten Kettenrechnung und der zusammen- 
gesetzten Regel de Tri. 
9. Wenn in einem Verhältnisse die beiden Glieder mit einander vertauscht 
werden, so sagt man, das Verhältniss werde um gekehrt. So ist 2. B. ^:a die 
Umkehrung von 2:2, 8:4 die Umkehrung von 4:8. Ist das Verháültniss zweier 
Zahlen a, 0 gleich dem umgekehrten Verhältniss zweier anderen € U, SO Sagt 
man, dass die ersteren sich zu einander umgekehrt wie die letzteren verhalten. 
Ist dies der Fall, ist also 2: — d:c, so kann man auch setzen 
16d 
2:5 m 
denn das letztere Verháltniss verwandelt sich durch Erweiterung mit cd in das 
gleiche d:c. Das umgekehrte Verhältniss zweier Zahlen ist also gleich 
dem Verhältniss der reciproken Werthe dieser Zahlen, (d. h. der durch 
Division der letzteren in 1 erhaltenen Zahlen). 
Zwei Grössen a, 6 stehen also zu einander im umgekehrten Verhältniss der 
Quadrate zweier anderen c, d, wenn 
aid d?:c?, oder a1b— i 
ist. 
Die umgekehrten Verhältnisse finden u. A. Anwendung in der sogenannten 
umgekehrten Regel de Tri.