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9. Die Elemente der Combinationslehre. 113 
beschleunigter Weise, und schon bei verhältnissmässig geringen Werthen von % 
ist die wirkliche Aufstellung derselben unmöglich. 
3. Bei den vorstehenden Entwicklungen ist jedoch stillschweigend voraus- 
gesetzt worden, dass alle x Elemente von einander verschieden seien. Ist diese 
Bedingung nicht erfüllt, so wird die Anzahl der Permutationen geringer. Denkt 
man sich nàmlich sámmtliche z! Permutationen von z verschiedenen Elementen 
gebildet, und dann ? von diesen Elementen einander gleich werdend, so wird 
jede einzelne der bisherigen Permutationen mit allen denjenigen identisch, welche 
sich vorher von ihr nur durch andere Stellungen der gleich gewordenen Elemente 
unterschieden. Es kommt daher jetzt jede Permutation so oft vor, als ? Elemente 
unter sich Permutationen gestatten, und es ist daher z! das ?lfache der Anzahl 
der noch von einander verschiedenen Permutationen, diese Anzahl selbst also 
gleich 
n -0-0079. 
Sind ausser f d EA. Elementen einer Art noch 4 gleiche einer anderen 
Art vorhanden, so ergiebt die gleiche Schlussweise für die Anzahl der ver- 
n! 
schiedenen Permutationen Di gl Sind noch xz gleiche Elemente einer dritten 
side a : 
Art vorhanden, so ist diese Anzahl gleich jig at u.s. Ww. Sind unter den 7 Ele- 
menten ;7 einander gleich und die übrigen z — zz ebenfalls unter einander gleich, 
so erhält man für jene Anzahl 
2! n (n — 1)(n — 2) .. .(n—m + 1) 
ml(n—m) 1- 2- 3 tn m 
  
^ " : ; 7 
für welchen Ausdruck man das Zeichen ( ) gelesen »z tef z;« eingeführt hat. 
m 
Derselbe Ausdruck ergiebt sich, wenn man mit x! hebt, gleich 
nn — 1 1 i ; 
(p —1)-- - (m + 1) ) sodass also 7” = # 1st. 
1:23 am m 2 —m 
So ; ; 1-2-3-4 
Beispielsweise gestatten die Buchstaben des Wortes O# nur 1.3:1.3 oder 
6 Permutationen, nämlich 
Otto, Otot, Oott, Toto, Toot, Ttoo. 
Das Bildungsgesetz derselben ist unverändert, wie oben. 
4. Es entsteht ferner die Aufgabe, von den Permutationen gegebener Elemente 
eine durch Angabe ihrer Stellenzahl bestimmte zu finden, ohne dass man nôthig 
hat, die vorhergehenden Permutationen aufzustellen. Es wird genügen, das 
hierzu dienliche Verfahren an einigen Beispielen zu erläutern. Es werde zu 
diesem Zwecke die 265te Permutation von darzus verlangt. Da hier 6 Elemente 
permutirt werden, so giebt es 1 - 2 - 3 - 4 - 5 — 120 Permutationen, welche mit d, 
ebensoviele, welche mit « beginnen, u. s. w. Da nun die Division von 265 durch 
120 den Quotienten 2 und den Rest 25 ergiebt, so gehen der verlangten Permu- 
tation zwei jener Gruppen von je 120 Permutationen, also die mit d und die 
mit @ beginnenden voraus, und sie selbst ist die 95te der dritten Gruppe und 
beginnt also mit z. Nach Streichung dieses Buchstabens bleibt die Frage, welches 
die 25te Permutation von Z4azzs sei, welche in derselben Weise wie vorher 
behandelt wird. Man hat jetzt je nach dem Anfangselement fünf Gruppen von 
je 1-2.3.4— 24 Elementen, es geht also der gesuchten Permutation eine 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. 1. 8