114 Arithmetik und Algebra. 
solche Gruppe voraus, und sie selbst ist die erste der zweiten Gruppe. Mithin 
ist nun 4, als zweites Element nach dem obigen » bestimmt, und es ist die erste 
Permutation der noch übrigen Elemente divs zu bestimmen. So ergiebt sich, 
dass die gesuchte Permutation radius ist. 
Es sei ferner die 11186te Permutation der 8 Elemente aeg mnrsu zu 
bestimmen. Nach dem vorstehend entwickelten Verfahren rechnet man wie 
folgt: 11186: 71 — 11186 : 5040 = 2, Rest 1106; die Permutation beginnt mit 
dem dritten Buchstaben g. Nach Streichung desselben hat man noch die Ele- 
mente aecmnrsu, und es ist 1106 :6!1 — 1106 : 720 — 1, Rest 386; es folgt also 
der zweite Buchstabe e, welcher wieder gestrichen wird. Dann ist 386 : 120 — 3, 
Rest 26, also das folgende Element z; ferner 26 : 24 — 1, Rest 2, also. 7), 9 - 6 0, 
also a; 29:9 — 1, Rest 0, mithin ist jetzt die letzte, d. i. zweite Permutation der 
ersten Gruppe für sw, also zs zu setzen, und die gesuchte Permutation ist 
germanus. 
Kommen unter den z gegebenen Elementen gleiche vor, so ist das Verfahren 
entsprechend abzuüándern, indem man berücksichtigt, dass nicht für alle Gruppen 
einer Art die Anzahl der Permutationen dieselbe ist. Um z. B. die 1252te Per- 
8! 
mutation von aabbbcccc zu bilden, beachte man, dass man zunächst sal == 280 
mit @ beginnende Permutationen hat, nach deren Abrechnung man noch die 
; 8! ; 
972te der folgenden suchen muss. Dagegen giebt es Sisi dl" 420 mit à be- 
ginnende, und nach Abrechnung derselben ist noch die 552te der folgenden, 
also der mit c beginnenden Permutationen zu ermitteln. Nach Streichung eines 
rm 
                  
  
7! ; : : 
c hat man SS 140 mit @ beginnende Permutationen abzuziehen, dann von 
11 : ; : 
— 5) x « - , 
319131 10 mit à beginnende, so dass nach Streichung 
eines weiteren c die 202te Permutation der übrigen Elemente zu ermitteln ist. 
; ; ! i. 6! 
In gleicher Weise hat man nun 757= 60; 202 — 60 = 142; 577 Sr = 90 
0. A. 
51 Ri 
EY EO. 59 — 90 392. 5191 == 
gesuchte Permutation ist also ccccababb. 
5. Soll umgekehrt ermittelt werden, die wievielte Permutation eine gegebene 
ist, so hat man in umgekehrter Weise zu verfahren. Wird z. B. gefragt, die wie- 
vielte Permutation 4317562 von 1234567 sei, so gehen der MEAM drei, bezüg- 
lich mit 1, 2, 3 beginnende Gruppen von je 6! Permutationen voraus. Nach 
Streichung der 4 gehen der Permutation 317562 von 123567 noch zwei Gruppen 
von je 5! Permutationen voraus. Ebenso erhált man weiterhin keine vorangehende 
Gruppe mit 4l, 3 mit je 3l, eine mit 2! Permutationen, und die gesuchte ist die 
zweite der folgenden, also im Ganzen die 3 - 6! + 2 - 5! + 3 - 31 + 2! + 2 = 2422te. 
Um ebenso zu Le die wievielte Permutation céabab von aabbbc sei, 
51 
hat man 2 mit e und 7 Ths mit 6 beginnende Permutationen vor den mit € 
142— 90 — 52; c- ferner — 30; 32 — 30 2 92. Dic 
; 4! 
anfangenden, dann nach Streichung des ¢ noch 5 
31 mit ¢ anfangende, weiterhin 
2! 51 5! 41 
entsprechend = ST j Vorhergehende, und die gesuchte ist also die 3i *3i = +3] 
21 
S reme 
+ 
       
  
  
  
  
   
  
   
   
  
  
    
  
  
  
  
   
    
   
   
  
    
  
   
   
  
      
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
    
      
   
   
   
       
tio; 
ihr 
me 
fint 
ma 
bei 
dri 
Wie 
wo 
we 
no 
fol 
mu 
ma 
die 
Wie 
licl 
dal 
bis 
nor 
Ele 
Peı 
unc 
sie 
Ele 
nie 
ple 
der 
die 
bez 
Gn 
Ele 
die 
der 
An: 
der 
nur 
ZWI 
hól 
Inv 
trit