ithin 
erste 
sich, 
4 zu 
wie 
mit 
Ele- 
also 
= 
— 0, 
der 
n ist 
hren 
open 
Per- 
. 980 
die 
h be- 
iden, 
(ines 
von 
hung 
n ist, 
= 00; 
Die 
bene 
wie- 
ezüg- 
Nach 
ppen 
ende 
it die 
99 te. 
gel, 
nit e 
erhin 
41 
T 
9. Die Elemente der Combinationslehre. II5 
6. Ausser der im Vorstehenden angewandten Ordnungsweise der Permuta- 
tionen ist noch eine andere von Interesse, bei welcher jede Permutation aus der 
ihr zunáchst vorhergehenden durch Vertauschung der Stellen von nur zwei Ele- 
menten abgeleitet werden kann. Sind námlich zwei Elemente a, 2? gegeben, so 
findet überhaupt nur eine solche Vertauschung statt; bei drei Elementen bildet 
man aus der ersten Permutation a2c zunüchst die zweite durch Vertauschung der 
beiden letzten Elemente, lässt dann in dieser zweiten «ac behufs Bildung der 
driten das Anfangsglied « seine Stelle mit ^ tauschen und vertauscht darauf 
wieder in 2ca die beiden letzten Elemente. Endlich lüsst man in der so ge- 
wonnenen Permutation Zac wieder das jetzige Anfangsglied ^ mit c die Stelle 
wechseln und leitet aus ca? durch Vertauschung der beiden letzten Elemente 
noch die letzte Permutation cba ab. 
Bei vier Elementen abdcd lässt man zunächst die auf das Anfangsglied a 
folgenden drei Elemente auf die eben angegebene Weise alle möglichen Per- 
mutationen unter sich machen; in der letzten dieser Permutationen adco lässt 
man nun das Anfangselement @ mit dem nächsten 6 der natürlichen Reihenfolge 
die Stelle tauschen und dann, indem man à als Anfangsglied beibehält, zunächst 
wieder die folgenden drei Elemente in der oben angegebenen Weise alle móg- 
lichen Versetzungen eingehen. Darauf vertauscht man in der letzten der bis 
dahin gebildeten Permutationen wieder 2 mit c, und führt in dieser Weise fort, 
bis jedes der vier Elemente auf alle móglichen Arten die erste Stelle einge- 
nommen hat. 
Man sieht nun schon, wie man in gleicher Weise die Permutationen von fünf 
Elementen mit Hülfe des Verfahrens bei vier Elementen, und so allgemein die 
Permutationen von z Elementen bilden kann. 
7. Das vorstehend erklärte Verfahren giebt noch Veranlassung zu folgenden 
Definitionen und Lehrsätzen: 
Je zwei beliebige Elemente, welche aus einer Complexion herausgenommen 
und in derselben Reihenfolge neben einander gestellt gedacht werden, in welcher 
sie in jener Complexion auf einander folgen, bilden ein Elementen-Paar. Jedes 
Elementen-Paar einer Complexion, in welchem ein höheres Element einem 
niedrigeren vorausgeht, bildet eine Inversion. So hat beispielsweise die Com- 
plexion 53491 die Elementen-Paare 53, 54, 59, 51, 34, 32, 531, 42, 41, 21; von 
denselben bilden 53, 54, 52, 51, 39, 31, 43, 41, 21 Inversionen.. Dagegen hat 
die Complexion 12453 nur die Inversionen 43, 53. 
Vertauscht man in einer Complexion zwei Elemente 7, s mit einander, und 
bezeichne 4 die Gruppe der Elemente, welche jenen beiden vorausgehen, Æ die 
Gruppe der zwischen denselben stehenden, und C die Gruppe der nachfolgenden 
Elemente, seien also 
ArBsC und. Ashr 6 
die betreffenden beiden Complexionen, und sei ferner s hôher als 7, so kann bei 
der Vertauschung von 7 und s nur die Gruppe A Anlass zu einer Aenderung der 
Anzahl der Inversionen geben, denn 4 und C bleiben sowol zu 7, als zu s in 
derselben Stellung in Betreff des Vorausgehens oder des Nachfolgens. Enthàlt 
nun die Gruppe 7 « Elemente, welche niedriger als » sind, 3 Elemente, welche 
zwischen x und s in der natürlichen Reihenfolge stehen, und 1 Elemente, welche 
höher als s sind, so fallen bei der Vertauschung von z und s zunüchst « + y 
Inversionen weg, dagegen entstehen dadurch, dass » hinter 0 4- 4 hóhere Elemente 
tritt, 8 -- 4, und dadurch, dass s vor « 4- à niedrigere tritt, «a + B, endlich durch 
g*