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9. Die Flemente der Combinationslehre. 117
Beispielsweise sind von den 4 Elementen abcd
«) die Combinationen ohne Wiederholungen zur dritten Klasse:
abc, abd, acd, bed,
8) die Combinationen mit Wiederholungen zur dritten Klasse:
aaa, aab, aac, aad, abb, abc, abd, acc, acd, add,
656, bbc, 5d, bee, Ded, bdd, etc, cod, cdd ddd,
y) die Variationen ohne Wiederholungen zur dritten Klasse:
abe, abd, ach, acd, adb, ade, bac, bad, bea, bed, bday 6dc, cab,
cad, cha, chd, cda, cdb, dab, dac, dhd, dbe, dea, deb,
9) die Variationen mit Wiederholungen zur dritten Klasse:
«aa, dab, aac, aad, aba, abd, abe, abd, aca, ach, ace, acd, ada,
add, ade, add, baa, bab, bac, bad, 000, 000,006, 00d, bea, beh,
Bec, Ded, Oda, Bdb, bide, hdd, cad, cab, cae, cad, cha, chh, che,
66d, cca, CEO, cec, ced, cda, edÓ, cde, edd, daa, dab, dac, dad,
dba, d00, die, |. dod, dca, deb, dec, ded, dda, dab, dde, ddd.
2. Als Bildungsgesetze für diese vier Arten von Complexionen kann man
folgende aufstellen:
Für die Combinationen von 7 Elementen zur ften Klasse ohne
Wiederholungen beginne man mit den 5 ersten Elementen der natürlichen
Reihenfolge und ersetze das am weitesten nach rechts stehende Element, welches
noch erhóht werden kann, nach und nach durch jedes der hóheren Elemente,
und fahre nach dieser Regel fort, indem man bei jeder Erhóhung eines Elemen-
tes die links von demselben stehenden Elemente unverändert lässt und rechts
von demselben die zunächst folgenden höheren Elemente in ihrer natürlichen
Reihenfolge setzt. — Bei der Erhöhung eines Elementes ist zu beachten, dass
eine hinreichende Anzahl höherer Elemente zur Besetzung der noch folgenden
Stellen vorhanden bleiben muss.
Bei diesem Verfahren nimmt jedes der z — f -i- 1 ersten Elemente nach und
nach die erste Stelle ein, in jedem dieser Fille folgt dem zuerst gesetzten Ele-
mente jedes der hóheren Elemente — soweit die Anzahl derselben zur Besetzung
der Stellen hinreicht — an zweiter Stelle, u. s. w.
Um die Combinationen von z Elementen zur ten Klasse mit Wieder-
holungen zu bilden, beginne man damit, das erste Element 5 mal zu setzen
und verfahre dann wie vorher, mit dem Unterschied, dass auf jedes gesetzte
Element nicht bloss ein hóheres, sondern auch jenes selbst wiederholt folgen
kann.
In Betreff der Variationen von x Elementen kann man ebenfalls in
ähnlicher Weise wie vorher verfahren, hat jedoch zu beachten, dass auf ‘ein
gesetztes Element auch jedes der niedrigeren folgen kann. Man setzt also jedes
der » Elemente einmal an die erste Stelle, darauf bei Variationen ohne Wieder-
holungen jedes der z — i übrigen der Reihe nach, bei Variationen mit Wieder-
holungen jedes der z Elemente überhaupt je einmal an die zweite Stelle, dann in
jedem der so erhaltenen Fülle wieder jedes der z — 2 übrigen, bezw. jedes der
2 Elemente der Reihe nach an die dritte Stelle, u. s. f£. bis zur pten Stelle.
Man sieht ferner leicht ein, dass man die Variationen von z Elementen
mit oder ohne Wiederholungen zur ten Klasse auch aus den entsprechenden
Combinationen ableiten kann, indem man jede der letzteren auf alle mögliche
Arten permutirt. — Die Variationen von z Elementen ohne Wiederholungen zur
ten Klasse sind identisch mit den Permutationen dieser Elemente.