120 Arithmetik und Algebra,
für die Wahrscheinlichkeit den Werth Null; sind alle möglichen Fälle zugleich
günstig, so wird die Wahrscheinlichkeit gleich 1. In der Wahrscheinlichkeits-
rechnung ist also die Null das Symbol der Unmöglichkeit, die Eins das Symbol
der Gewissheit. Sind ebenso viele Fälle einem Ereigniss günstig als ungünstig,
so ist die Wahrscheinlichkeit des letzteren gleich 4; in diesem Falle bezeichnet
man das Eintreffen des Ereignisses als zweifelhaft. Ist die Wahrscheinlichkeit
grösser als 4, so sagt man im engeren Sinne, das Eintreffen des Ereignisses sei
wahrscheinlich; ist sie kleiner als 4, so sagt man, dieses Ereigniss sei unwahr-
scheinlich.
Entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nennt man die Wahr-
scheinlichkeit für das Nicht-Eintreten des letzteren; dieselbe wird durch einen
Bruch angegeben, dessen Zähler die Anzahl der ungünstigen, und dessen Nenner
die Anzahl der möglichen Fälle ist. Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
gleich zw, so ist die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit desselben gleich 1— ze.
Zuweilen berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses am bequemsten
aus der entgegengesetzten Wahrscheinlichkeit desselben. | Wird z. B. nach der
Wahrscheinlichkeit gefragt, bei dreimaligem Aufwerfen eines Münzstückes wenigstens
einmal »Schrift« zu werfen, so sind, da jeder der beiden móglichen Fálle eines
Wurfes mit jedem Fall der übrigen Würfe zusammen treffen kann, 2-2-2 —8
Fälle möglich. Unter diesen ist nur einer ungünstig, also ist die entgegenge-
setzte Wahrscheinlichkeit 1, und daher die gesuchte 1 — 1 —£.
9. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfordert behufs
der Bestimmung der Anzahlen der möglichen und der günstigen Fälle häufig die
Anwendung der Combinationslehre. Dieselbe kann bei zusammengesetzten Auf-
gaben nicht selten dadurch erleichtert werden, dass das Ereigniss in mehrere
einzelne Ereignisse zerlegt wird. Es seien zunächst unter z möglichen Fällen a
einem Ereigniss, 6 davon verschiedene einem zweiten Ereigniss, wieder c andere
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einem dritten Ereigniss, u. s. w. günstig, also z/, — Eo (mm M Em ABS
die Wahrscheinlichkeiten dieser einzelnen Ereignisse, so ist die Wahrscheinlichkeit
dass von den letzteren irgend eines, also entweder das eine oder. das andere ein-
trete, gleich poc oder es ist die totale Wahrscheinlichkeit
gleich w, + w, + w; + ..., also gleich der Summe der partiellen Wahr-
scheinlichkeiten.
So ist z. B. die Wabhrscheinlichkeit mit zwei Würfeln einen Pasch zu werfen, da unter
6-6 móglichen Füllen 6 günstige sind, z, — 4; die Wahrscheinlichkeit mit derselben Anzahl
von Wiirfeln zwei auf einander folgende Zahlen zu werfen, ist w, = 4%, da die zehn Würfe
12, 23, 34, 45, 56, 21, 32, 43, 54, 65 günstig sind. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Wurfe
entweder einen Pasch oder zwei aufeinanderfolgende Zahlen zu werfen, ist also w = § + % — $-
Wird dagegen nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, mit zwei Würfeln entweder einen Pasch
oder die Summe 8 zu werfen, so sind die partiellen Wahrscheinlichkeiten zv, = 4, w, — 5, die
gesuchte Wahrscheinlichkeit ist jedoch nicht gleich } + 3% = 1}, sondern nur gleich iQ, da
der Wurf 44 beiden Ereignissen günstig ist und daher bei der ersten Rechnung fälschlicher
Weise doppelt gezählt sein würde.
3. Wird dagegen die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass von zwei Ereignissen,
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deren Wahrscheinlchkeiten einzeln bezüglich wi = ÿ #2 — — selen, sowol das
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eine als auch das andere, dass also beide gleichzeitig oder auch in bestimmter
Reihenfolge nach einander eintreten, so sind à - d Fälle móglich, da jeder bei
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