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9. Die Elemente der Combinationslehre. 121 
dem einen Ereigniss môgliche Fall mit jedem von den bei dem anderen môg- 
lichen zusammentreffen kann. Ebenso kann jeder der @ günstigen Fälle des 
einen mit jedem der c günstigen des anderen zusammentreffen; die Anzahl der 
überhaupt günstigen Fälle ist also @c, und mithin die gesuchte Wahrscheinlich- 
keit gleich = oder gleich wy - wy. Man kann diesen Schluss leicht auf drei 
oder mehr einzelne Ereignisse ausdehnen. Die so gefundene Wahrscheinlichkeit 
heisst aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzt. Es gilt also 
der Satz: Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereig- 
nisse ist gleich dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. 
Wird z. B. nicht, wie oben, nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, mit zwei Würfeln ent- 
weder einen Pasch oder zwei aufeinanderfolgende Zahlen zu werfen, sondern nach der Wahr- 
scheinlichkeit, mit dem ersten Wurf einen Pasch, und darauf noch mit dem zweiten Wurf zwei 
Ts 45. Ist 
dabei die Reihenfolge der beiden Würfe nicht bestimmt, so ist die gefundene Zahl, da zwei 
aufeinanderfolgende Zahlen zu werfen, so ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1. 
verschiedene Reihenfolgen móglich sind, noch mit 2 zu multipliciren. 
Die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne, welche 39 weisse und 4 schwarze Kugeln enthält, 
mit dem ersten Griff eine weisse und darauf, nachdem diese wieder hineingelegt worden ist, mit 
dem zweiten Griff eine schwarze Kugel zu ziehen, ist #3. 4= 13. Dagegen ist die Wahrschein- 
lichkeit, wenn mit einem Griff zwei Kugeln zugleich herausgenommen werden, dass dieselben 
eine schwarze und eine weisse seien, gleich 4, denn unter den móglichen 21 Combinationen 
der 7 Kugeln zu zweien, sind 12 Combinationen günstig. Diese Wahrscheinlichkeit ist dieselbe, 
wie die, dass bei zwei aufeinanderfolgenden Griffen eine weisse und eine schwarze Kugel 
gezogen werde, wenn die gezogene Kugel nicht wieder hineingelegt wird und die Reihenfolge 
der beiden Kugeln nicht bestimmt ist. Man kann in diesem Falle auch, wie folgt, rechnen: 
Die W., zuerst eine schwarze Kugel zu ziehen ist #; 
ist — da die Anzahl der Kugeln jetzt nur noch 6 beträgt — 2; die W., dass beides geschehe, 
die W., darauf eine weisse zu ziehen, 
ist also $- 2 — 7. Ferner ist die W., beim erstenmal eine weisse und beim zweitenmal eine 
schwarze Kugel zu ziehen, entsprechend $- 4$ — 2. Die W., dass das Ereigniss entweder in 
der einen oder in der anderen Reihenfolge eintrete, ist also 2 4- 2 — 4. 
Werden die 7 Kugeln in zwei Urnen vertheilt, sodass die eine der letzteren 2 weisse und 
2 schwarze, die andere eine weisse und 2 schwarze Kugeln enthült, so ist die W., eine weisse 
Kugel zu ziehen, nicht mehr wie vorher gleich 2, sondern gleich 454,, denn die W., in die erste 
Urne zu greifen, ist gleich 1, die W., aus dieser eine weisse Kugel zu ziehen, gleich 2 — 4, 
also die W., in die erste Urne zu greifen und dann aus ihr eine weisse Kugel zu ziehen, gleich 
$:d 1 In gleicher Weise ergiebt sich die W., in die zweite Urne zu greifen und dann aus 
2 
ihr eine weisse Kugel zu ziehen, gleich 1.1 — 1. Die W., dass entweder das eine oder das 
andere geschehe, ist also gleich +-+4. Ebenso findet man für dieses Beispiel die W., eine 
schwarze Kugel zu ziehen, gleich 44, und die W., mit zwei Griffen hinter einander zuerst eine 
weisse und, nachdem diese wieder in ihre Urne zurückgelegt worden, dann eine schwarze Kugel 
zu ziehen, gleich #5 + 75 = 43. 
Liegt in der einen Urne nur eine schwarze Kugel, liegen in der anderen also 3 weisse und 
9 schwarze, so hat die erstere Kugel durch diese Vertheilung für sich allein die gleiche W., 
gezogen zu werden, wie die 6 anderen zusammen; die W., hier eine schwarze Kugel zu ziehen, 
ist daher 1-4 — i, die W., eine weisse zu ziehen, nur +. 
Es kann der Fall eintreten, dass umgekehrt die Wahxscheinlichkeit eines 
einzelnen Ereignisses mittelst der bekannten totalen oder zusammengesetzten 
Wahrscheinlichkeit, oder dass die Anzahl der einzelnen Ereignisse gesucht wird. 
Man hat in solchen Fällen nur die betreffende Gleichung auf die gesuchte Un- 
bekannte aufzulösen. 
Wird z. B. gefragt, wie oft mit zwei Würfeln geworfen werden müsse, damit die Wahr- 
Scheinlichkeit, zwei Sechsen zu werfen, grösser werde, als die Wahrscheinlichkeit des Gegen-