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9. Die Elemente der Combinationslehre. 127 
8. Eine weitere Anwendung findet die Wahrscheinlichkeits-Rechnung in dem 
Versicherungs-Wesen, also bei Feuerversicherungs-, Lebensversicherungs-, Wittwen- 
Kassen u. dgl. Die hier den Berechnungen zu Grunde gelegten Wahrscheinlich- 
keiten sind solche a posteriori, welche durch die statistischen Ermittelungen fest- 
gestellt werden. Für ein näheres Studium dieser Anwendung muss hier auf die 
besonderen Fach-Schriften verwiesen werden. 
Das Gleiche gilt von der Anwendung der Wahrscheinlichkeits-Rechnung auf 
die Ermittelung des wahrscheinlichsten Werthes beobachteter oder gemessener 
Grössen, bei welchen die Resultate verschiedener einzelner Messungen in Folge 
der unvermeidlichen kleinen Beobachtungsfehler nicht vollständig übereinstimmen. 
Wenn beispielsweise ein und derselbe Winkel mehreremale gemessen wird, so 
werden in Folge der Unvollkommenheit der Sinne des Beobachters, der unver- 
meidlichen kleinen Mängel des Messinstruments, vielleicht auch der wechselnden 
Einflüsse von Wind. und Wetter auf die Aufstellung: des letzteren, u. dgl. m. die 
einzelnen Messungsresultate bei der gróssten Sorgfalt des Arbeitenden um geringe 
Werthe verschieden sein. Sind hierbei die einzelnen Messungen unter Umstünden 
angestellt, welche dieselben gleich vertrauenswerth machen, so lüsst sich annehmen, 
dass jeder Beobachtungsfehler ebenso leicht positiv, wie negativ eintreten kónne, 
und dasjenige Resultat, welches die grósste Wahrscheinlichkeit hat, das richtige 
zu sein, ergiebt sich gleich dem arithmetischen Mittel der einzelnen Resultate. 
Dabei wächst diese Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der einzelnen Messungen. 
In verwickelteren Füllen, namentlich wenn die gewünschten Resultate nicht 
unmittelbar beobachtet, sondern erst aus den Beobachtungen durch Rechnung 
abgeleitet werden, unterliegt die Bestimmung des wahrscheinlichsten Werthes 
grösseren Schwierigkeiten. Die für die beobachtende und messende Praxis über- 
aus wichtige Ausgleichung der unvermeidlichen Beobachtungsfehler, welche durch 
die Lósung solcher Aufgaben erzielt wird, bildet den Gegenstand einer besonderen 
mathematischen Disciplin, der sogenannten Ausgleichungsrechnung. In Betreff 
derselben kann hier nur historisch angeführt werden, dass sie sich auf die von 
Gauss erfundene Methode der kleinsten Quadrate stützt. Die letztere 
geht von dem Lehrsatz aus, dass dasjenige Resultat die grósste Wahrscheinlich- 
keit habe, das genau richtige zu sein, für welches die Summe der Quadrate 
seiner Abweichungen von den einzelnen Resultaten der Beobachtung möglichst 
klein ist. 
Auch bei vielen Urtheilen des praktischen Lebens kann von den Principien 
der Wahrscheinlichkeits-Rechnung Anwendung gemacht werden. Wer aus einer 
Anzahl von Beobachtungen auf das Eintreffen eines Ereignisses unter bestimmten 
Umständen schliesst, macht häufig nur einen Wahrscheinlichkeits-Schluss, dessen 
Werth sehr verschieden sein kann. Gesetzt, es habe Jemand beispielsweise drei- 
mal nach einander die Beobachtung gemacht, dass bei Mondwechsel auch ein 
Witterungswechsel stattgefunden habe, so würde der Schluss auf ein diesen Be- 
obachtungen zu Grunde liegendes allgemeines Gesetz, der Schluss also, dass das 
Wechseln des Wetters bei dem des Mondes gewiss sei, ein sehr voreiliger sein, 
da hier höchstens von einer Wahrscheinlichkeit a posteriori die Rede sein kann, 
welche. aber in dem gewählten Beispiele auf einer viel zu geringen Anzahl von 
Wiederholungen beruht, um irgend welchen Werth zu haben. Würde dagegen 
Jemand das gleichzeitige Eintreffen zweier Ereignisse etwa unter Tausenden von 
Beobachtungen jedesmal oder doch bei einer überwiegend grossen Anzahl dieser 
Beobachtungen wahrgenommen haben, so wäre ein Schluss auf eine Wahrschein-