128 Arithmetik und Algebra. 
lichkeit des ursächlichen Zusammenhangs beider Ereignisse gerechtfertigt oder 
erlaubt. Wir versagen uns auch hier ein näheres Eingehen, indem wir dasselbe 
dem eigenen Nachdenken oder weiteren Studien der Leser überlassen. 
8 62. Der binomische Lehrsatz für ganze, positive Exponenten. 
Hris $ 40 u. 92—93. BarDey XXXVI. 
1. Die Aufgabe des sogenannten binomischen Lehrsatzes, jede beliebige Po- 
tenz (a == 4) eines Binoms zu entwickeln, ist für ganze positive Exponenten ein 
besonderer Fall der Aufgabe, ein Produkt von der Form 
za) EEE NEE) 
zu entwickeln. Diese allgemeinere Aufgabe gestattet mit Hülfe der Combinations- 
lehre eine leichte Auflösung. 
Durch Ausführung der Multiplicationen nach (19) in $ 11 erhält man zunächst 
(x + a) (x + 5) = x? -- (a 2- P) x -- ab 
(x + a) (x + 5) (x + 0) = 3 + (a -- 0 4- e) 32 + (26 + ac + bc) x + abc 
(x + a) (x + 5) (x + e) (3 + d) = 24 + (a + 5 + € + d) x3 + (ab + ac + ad 
+ be + bd + cd) x? + (ade + abd + acd + bcd) x --abcd u. s. w. 
Sucht man nach einem allen diesen einzelnen Entwicklungen gemeinsamen 
Bildungsgesetz, welches also eine gewisse Wahrscheinlichkeit habe, allgemeine 
Gültigkeit zu besitzen, so fällt sofort in die Augen, dass sämmtliche Entwicklungen 
aus Gliedern bestehen, welche nach abnehmenden Potenzen von x fortschreiten. 
Das erste Glied ist jedesmal diejenige Potenz von x, deren Exponent gleich der 
Anzahl der binomischen Faktoren auf der linken Seite ist; jedes folgende Glied 
enthält eine Potenz von x, deren Exponent um 1 kleiner ist als in dem ihm 
unmittelbar vorhergehenden Gliede, und die Coefficienten dieser Potenzen lassen 
sich der Reihe nach aus den Combinationen der zweiten Summanden a, 2, c, d, ... 
zur ersten, zweiten, dritten Klasse u. s. w. bilden, indem man diese Combinationen 
(ohne Wiederholungen) als Produkte betrachtet und letztere jedesmal addirt. 
Das letzte Glied enthält so das Produkt sämmtlicher Summanden a, à, u. s. W., 
mit x0, d. i ohne x 
Gilt dieses Gesetz allgemein, und bezeichnet man die Summe der aus jenen 
Combinationen zur pten Klasse gebildeten Produkte der Kürze halber mit S (Cp), 
so ist für ein Produkt von z Binomen: 
(x--a)(x-2a-5x-0....-— 
x" + S (Ci) x*—14- S(C3) x" —-24- S(C3) x* -3 - ... -- S(C, 3) x 4- S(C,) - (I). 
Die Richtigkeit dieser Formel beruht jedoch nach dem Vorstehenden nur 
auf Vermuthung; einen strengen Be weis derselben erhält man durch die soge- 
nannte hóhereInduction oder den Schluss von z auf z--1. Es sei námlich die Richtig- 
keit der Formel für irgend eine Anzahl z der binomischen Faktoren vorausgesetzt, 
so soll bewiesen werden, dass dieselbe dann auch für z-- 1 solche Faktoren 
gelten muss. Man findet aber das richtige Produkt von z -- 1 Faktoren, indem 
man die Multiplication des richtigen Produkts von z Faktoren mit dem neu hinzu- 
gekommenen % + ten Faktor ausführt. Es sei dieser Faktor x 4-4, so ist das 
durch Multiplication der rechten Seite von (1) mit demselben entstehende Pro- 
dukt gleich 
er HS (Car + S (C5) x»-* 2- ...2- S (C; 1) 32 + S (C4) X 
-- 4 x" -- qS(C)n -12- ...2- 45(0,-2) 3? -- 25(0, —1) x - 2516, 
Es ist also in der neuen Entwicklung der Coefficient von x^ gleich 
  
      
  
  
   
   
  
  
  
  
   
  
   
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
S(C 
liche 
bina 
zur 
nati 
dass 
tore: 
Gest 
Forr 
Ausf 
5 Fa 
tore: 
wies 
Weis 
a, b, 
eine: 
bleib 
weck 
xX? 
gleic 
von 
von 
oder 
wöhr 
wenn