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IO. Von den Reihen. 131 
ist, was leicht mittelst Einsetzen der betreffenden Ausdriicke und einer einfachen 
Umformung geschieht. 
Hiernach kónnen die Binomialcoefficienten für die verschiedenen Exponenten 
leicht nacheinander durch blosse Additionen berechnet werden. Man erhält so 
das sogenannte Pascar'sche Dreieck: 
nz. 1 
1. ) 1 
9. 1:9 I 
9. 1] ^3 3 1 
4, 1^ 4 6 14 1 
5. 1.5 16 190 5^] 
+ 4 15 20 15 6 1 
1 7.91.35. 35 91 7 *1 
us w 
Setzt man in der Entwicklung von (@ + 6)7 für @ und für à den Werth 1 ein, 
so ergiebt sich ohne Weiteres der Satz: 
Die Summe aller Binomialcoefficienten der zten Potenz ist gleich 2%. Setzt 
man dagegen in der Entwicklung von (v — 2)", a — 6= 1, so erhält man 
i00 0:0 rE 
woraus der Satz folgt, dass die Summe aller an geraden Stellen stehenden 
Binominalcoefficienten gleich der Summe aller an ungeraden Stellen stehenden, 
jede dieser Summen also gleich 2»-—1 ist. 
4. Um die zte Potenz eines Trinoms a à Æc zu entwickeln, kann man letzteres 
zunächst ın Form eines Binoms schreiben, dessen eines Glied wieder ein Binom 
ist, und dann den binomischen Lehrsatz wiederholt anwenden. So ist z. B. 
(a 4-5 — à — ((a +5) — = (a+ 15 — 3 (a + Ie + 8 (a + 8) — & 
= & + 302 + 3aB + 53 — 3 (a? + 2ab + 8) c + 3 (a + 5) 2 — 8 
— a9 -- 83 a2 -- 3a02 + 03 — 3a%2c — 6460 — 3PC + Bac? + 562 — 3 
= @ + 5 — 3 + 3 (225 + ab? — a2c — ec + ac + be?) — Gabc. 
In ähnlicher Weise lassen sich die Potenzen beliebiger Polynome entwickeln. 
Hierdurch wird für die Praxis die Ableitung einer allgemeinen Formel für die 
nte Potenz eines Polynoms, d. 1. des polynomischen Lehrsatzes, entbehrlich. 
Eine andere Erweiterung des binomischen Lehrsatzes, nämlich die Ausdehnung desselben 
ND 
auf gebrochene oder negative, allgemein auf beliebige Werthe des Exponenten, geschieht am 
besten durch Hiilfsmittel der sogenannten höheren Mathematik. 
Kapitel 10. 
Von den Reihen. 
8 63. Einfache arithmetische Reihen. 
Eine Reihe nennt man in der Arithmetik jede gesetzmässige Aufeinander- 
folge von Zahlen. So sind beispielsweise 
1 1 1 1 1 
1 3179*.1:.9.38' 1:9-3.1,.1.9-8:4.5' 
1.1.4 1 
Reg MET 
Reihen, deren Bildungsgesetze leicht ersichtlich sind. 
  
oder 1 und a, 9e, 3e, 4c, 5a, .