Arithmetik und Algebra. 
dem eine Bezugnahme darauf bei entsprechenden analytisch-geometrischen Unter- 
suchungen zu ermöglichen. 
In der Arithmetik und Algebra ist in Betreff des Uebungsmaterials auf 
verbreitete Aufgaben-Sammlungen verwiesen worden, da eine umfangreiche Mit- 
theilung solchen Materials zuviel Raum erfordert haben würde. 
Durch wiederholtes Setzen einer Einheit, d. i. durch Zählen oder Numeriren, 
erhält man die Reihe der natürlichen Zahlen: 
13 435 ...., 
welche ohne Ende fortschreitet. Eine solche Zahl ist also ein zusammenfassender 
Ausdruck für eine bestimmte Menge (Anzahl) gleichartiger Einheiten. Jede 
folgende Zahl der natürlichen Zahlenreihe ist um eine Einheit grosser als die 
nächst vorhergehende. 
Durch Verbindung zweier oder mehrerer Zahlen nach bestimmten Gesetzen, 
d. i. durch Rechnen, lassen sich aus jenen andere Zahlen ableiten, welche zu 
ihnen in einer vorgeschriebenen Beziehung stehen. Von solchen Verbindungs- 
weisen soll im Folgenden näher gehandelt werden. 
Neben den — hier als bekannt vorausgesetzten — bestimmten Zahlzeichen 
(Ziffern und deren Verbindungen) bedient man sich zur Bezeichnung von Zahlen 
auch der Buchstaben. Es geschieht dies, wenn von einem bestimmten Werth 
der Zahl abgesehen werden, es also gestattet sein soll, sich unter dem gebrauchten 
Zeichen jede beliebige bestimmte Zahl vorzustellen. Dieser Gebrauch der Buch- 
staben findet namentlich zu dem Zwecke statt, die allgemeinen Regeln und Ge- 
setze des Rechnens darzustellen, welche für alle Zahlen, ohne Rücksicht auf 
besondere Werthe, Geltung haben. Innerhalb derselben Rechnung ist dabei 
unter einem und demselben Buchstaben stets dieselbe Zahl zu denken, wenn- 
gleich, wie bemerkt, unbestimmt gelassen wird, welches ihr Werth ist. 
Ausserdem gebraucht man die Buchstaben zur Bezeichnung solcher Zahlen, 
deren Werthe zwar nicht unbestimmt, aber unbekannt sind, also z. B. der 
gesuchten Grössen bei Rechnungs-Aufgaben. Man ist übereingekommen, zu dem 
letzteren Zweck in der Regel die letzten Buchstaben des Alphabets, dagegen 
als allgemeine Zahlzeichen vorwiegend die ersten zu benutzen. 
Die allgemeine Arithmetik handelt von den Gesetzen der einfachsten Ver- 
bindungsweisen von Zahlen oder der sogenannten Grund-Rechnungsarten. Wegen 
des angeführten Gebrauchs der Buchstaben wird sie wol auch Buchstabenrechnung 
genannt. 
In dem Begriff der Zahl liegen nach dem Obigen zwei Begriffe, nàmlich 
derjenige einer ursprünglich gegebenen Grösse, der Einheit, und derjenige 
eines wiederholten Setzens dieser Einheit oder einer bestimmten Anzahl. 
Einheit kann jede Grösse sein, und ein und dasselbe Zahlzeichen kann 
daher sehr Verschiedenes bedeuten, je nachdem ihm verschiedene Einheiten zu 
Grunde liegen. Durch die Angabe der Einheit erhält die Zahl ihre Benennung 
(benannte Zahlen). Bei allgemeinen Untersuchungen kann die Einheit, welche 
den verschiedenen Zahlen derselben Rechnung gemeinsam zu Grunde liegt, 
unbestimmt gelassen werden (abstracte, unbenannte Zahlen). 
Von der Einheit ist die Eins zu unterscheiden. Die letztere ist diejenige 
Zahl, welche das einmalige Gesetztsein der ersteren angiebt. 
      
  
  
   
   
  
   
    
  
  
  
  
  
  
  
    
   
   
    
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
       
   
     
  
    
    
e